LT与ZT变换总结¶

1. 引言与背景¶

1.1 为什么需要LT和ZT？¶

• 优点：
• 简化线性微分/差分方程求解
• 将卷积运算转换为乘积运算（如\(f(t)*g(t) \rightarrow F(s)G(s)\)）
• 建立系统函数概念，便于分析动态特性
• 困难：
• 信号表达受限（如指数增长信号\(f(t)=e^{at}\)的Fourier变换可能不存在）
• 高阶/非线性系统分析复杂

1.2 发展历史¶

2. Laplace变换（LT）¶

2.1 核心特性¶

• 时域→复频域转换：
  $$ F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt $$
• 优势：
• 可处理不满足绝对可积的信号（如阶跃函数）
• 支持初值定理和终值定理分析

2.2 反变换方法¶

① 部分因式分解法¶

步骤：
1. 将\(F(s)\)分解为有理分式
2. 查表对应时域函数
示例：
$$ F(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} \rightarrow f(t)=2e^{-t}-e $$

② 留数法¶

MATLAB实现¶

syms t;
laplace(t^2)  % 输出: 2/s^3
ilaplace(1/(s^2+4)) % 输出: (1/2)*sin(2t)

3. Z 变换（ZT）¶

3.1 核心特性¶

• 离散序列→复平面转换：
  $$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n} $$
• 作用：
• 差分方程→代数方程（如 \(y[n-1] \rightarrow z^{-1}Y(z)\) ）
• 数字滤波器设计基础

3.2 反变换方法¶

① 长除法¶

因果序列示例（ \(|z|>1\) ）：
$$ X(z)=\frac{z}{(z-1)^2} \rightarrow x[n]=nu[n] $$

② 留数法¶

$$ x[n]=\sum \text{Res}[X(z)z^{n-1}] $$
极点处理：
- 一阶极点： \((z-p_k)X(z)z^{n-1}\big|_{z=p_k}\)
- 二阶极点： \(\frac{d}{dz}[(z-p_k)^2X(z)z^{n-1}]\big|_{z=p_k}\)

MATLAB 实现¶

syms z n;
ztrans(n^4)  % 输出: (z^4+11z^3+11z^2+z)/(z-1)^5
iztrans(z/(z-2)) % 输出: 2^n

4. 关键对比¶

• LT 时移特性：
  $$ \mathcal{L}{f(t-a)u(t-a)}=e^{-as}F(s) $$
• ZT 卷积定理：
  $$ \mathcal{Z}{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z) $$