LT与ZT性质变换总结 2¶

1. Laplace变换（LT）性质总汇¶

关键性质列表¶

性质名称	数学表达式
线性性	\(x [f (t)+k_f (t)] =k_f(t)+k_f^*(t)\)
时域微分	\(x\left [\frac{df (t)}{dt}\right] =sF(s)-f(0)\)
高阶时域微分	\(x\left [\frac{d^n f (t)}{dt^n}\right] =\sum_{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i)}(0)\)
时域积分	\(x\left [\int_{-s}^s f (t) dt\right] =\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s}\)
时移（延时）	\(x [f (t-t_0)\mu (t-t_0)] =e^{-s t_0}F(s)\)
频移（s域平移）	\(x [e^{at}f (t)] =F(s-a)\)
尺度变换	\(x [f (at)] =\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right), \ a>0\)
初值定理	\(\lim_{t \to 0^+} f(t)=\lim_{s \to \infty} sF(s)\)
终值定理	\(\lim_{t \to \infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)\)
时域卷积	\(x [f_1 (t)*f_2 (t)] =F_1(s)F_2(s)\)
频域卷积	\(x [f_1 (t) f_2 (t)] =\frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F_1(p)F_2(s-p)dp\)

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2. LT微分特性详解¶

定理¶

若 \(x [f (t)] = F(s)\)，则：
$$
x\left( \frac{d f(t)}{d t} \right) = sF(s) - f(0^-)
$$

证明¶

通过分部积分法：
$$
\begin{aligned}
x\left( \frac{d f(t)}{d t} \right) &= \int_{0^-} dt \} f'(t) e^{-st
&= \left. f(t)e^{-st} \right|{0^-} + s \int{0^-} dt \} f(t)e^{-st
&= -f(0^-) + sF(s)
\end{aligned}
$$

应用示例¶

电感电压计算
已知电流 \(i_L(t)\) 的LT为 \(I_L(s)\)，则电感电压 \(v_L(t)=L \frac{di_L(t)}{dt}\) 的LT为：
$$
V_L(s) = sL I_L(s) - L i_L(0^-)
$$

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3. LT卷积特性¶

定理¶

若因果信号 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\) 的LT分别为 \(F_1(s)\) 和 \(F_2(s)\)，则：
$$
x [f_1 (t)*f_2 (t)] = F_1(s)F_2(s)
$$

证明¶

通过交换积分顺序：
$$
\begin{aligned}
x [f_1 (t)*f_2 (t)] &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \
&= \int_{0}^{\infty} f_1(\tau) \left( \int_{\tau}^{\infty} f_2(t-\tau) e^{-st} dt \right) d\tau \
&= F_1(s)F_2(s)
\end{aligned}
$$

应用示例¶

单边斜变信号变换
\(t \cdot u(t) = u(t)*u(t)\)，其LT为：
$$
x [t \cdot u (t)] = \frac{1}{s^2}
$$

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4. 重要结论¶

• ROC：性质应用时需注意收敛域的变化。
• 因果性：单边LT默认信号为因果信号（\(t<0\)时\(f(t)=0\)）。
• 联系与对比：LT与ZT（Z变换）性质高度相似，可通过类比学习。