week-12-信号处理的变换与性质总结
约 5349 个字 预计阅读时间 27 分钟 共被读过 次
1 Z 变换性质总汇¶
1.1 Z 变换的主要性质表¶
下表总结了 Z 变换的主要性质：
| 名称 | \(x[n]\) | \(X(z)\) | 收敛域 (ROC) |
|---|---|---|---|
| 线性性质 | \(ax[n]+by[n]\) | \(aX(z)+bY(z)\) | $max(R_{x_{-}},R_{y_{-}})<\ |
| 位移性质 | \(x[n-m]\) | \(z^{-m}X(z)\) | $R_{x_{-}}<\ |
| \(x[n+m]\) | \(z^{m}X(z)\) | $R_{x_{-}}<\ | |
| 指数加权 | \(a^{n}x[n]\) | \(X(z/a)\) | $R_{x_{-}}\ |
| \((-1)^{n}x[n]\) | \(X(-z)\) | $R_{x_{-}}<\ | |
| 反褶 | \(x[-n]\) | \(X(1/z)\) | $1/R_{x_{+}}<\ |
| 尺度变换 | \(x_{(k)}[n]\) (序列抽取) | \(X(z^{k})\) | $R_{x_{-}}^{1/k}<\ |
| 线性加权 | \(nx[n]\) | \(-z\frac{d}{dz}X(z)\) | $R_{x_{-}}<\ |
| 共轭对称 | \(x^{*}[n]\) | \(X^{*}(z^{*})\) | $R_{x_{-}}<\ |
| 初值定理 | \(x[0]\) (x[n]为因果序列) | \(\lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\) | $\ |
| 终值定理 | \(\lim_{n\rightarrow\infty}x[n]\) (x[n]为因果序列) | \(\lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)\) | \((z-1)X(z)\) 收敛于 $\ |
| 卷积定理 | \(x[n]*y[n]\) | \(X(z) \cdot Y(z)\) | $max(R_{x_{-}},R_{y_{-}})<\ |
| 变换域卷积定理 (序列相乘) | \(x[n]y[n]\) | \(\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(v)Y(\frac{z}{v})v^{-1}dv\) | $R_{x_{-}}R_{y_{-}}<\ |
2 Z 变换线性性质¶
2.1 定义¶
Z 变换是一种线性变换。如果：
\(Z\{x[n]\}=X(z)\) , 收敛域为 \((R_{x_{-}}<\|z\|<R_{x_{+}})\)
\(Z\{y[n]\}=Y(z)\) , 收敛域为 \((R_{y_{-}}<\|z\|<R_{y_{+}})\)
则：
\(Z\{ax[n]+by[n]\}=aX(z)+bY(z)\)
收敛域为 \(max(R_{x_{-}},R_{y_{-}})<\|z\|<min(R_{x_{+}},R_{y_{+}})\) 。
注：当出现收敛域边界的零极点抵消时，收敛域可能扩大。
2.2 示例¶
示例 1：¶
已知 \(x[n]=a^{n}u[n]\) 和 \(h[n]=a^{n}u[n-m]\) 。令 \(y[n]=x[n]-h[n]\) 。
求:
(1) \(Y(z)=Z\{y[n]\}\)
(2) 画出 \(Y(z)\) 的零、极点图
(3) 讨论 \(Y(z)\) 的收敛域
解：
(1) 首先求 \(X(z)\) 和 \(H(z)\) :
\(X(z) = \frac{1}{1-az^{-1}}\) , 收敛域 \(\|z\|>\|a\|\)
\(H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]z^{-n} = \sum_{n=m}^{\infty}a^{n}z^{-n}\)
根据 PDF 中的推导:
\(H(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a^{n}z^{-n} - \sum_{n=0}^{m-1}a^{n}z^{-n} = \frac{1}{1-az^{-1}} - \frac{1-(az^{-1})^{m}}{1-az^{-1}} = \frac{(az^{-1})^{m}}{1-az^{-1}} = \frac{a^{m}z^{-m}}{1-az^{-1}}\)
收敛域 \(\|z\|>\|a\|\)
利用线性性质：
\(Y(z) = X(z) - H(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} - \frac{a^{m}z^{-m}}{1-az^{-1}} = \frac{1-a^{m}z^{-m}}{1-az^{-1}}\)
\(Y(z) = \frac{z^{m}-a^{m}}{z^{m-1}(z-a)}\)
PDF 指出，由于零极点抵消，收敛域变为 \(\|z\|>0\) (假设 \(a \neq 0\) )。
(2) 零极点图：
极点： \(z=a\) (原有一个极点)， \(m-1\) 阶极点在 \(z=0\) 处。
零点： \(z^{m}-a^{m}=0 \Rightarrow z_{k}=\|a\|e^{j\frac{2\pi k}{m}}\) for \(k=0,1,\cdot\cdot\cdot,m-1\)
当 \(k=0\) 时， \(z_0 = \|a\| e^{j0} = \|a\|\) 。此零点与极点 \(z=a\) 抵消。
(3) 收敛域讨论：
由于 \(z=a\) 处的零极点抵消，原来的收敛域 \(\|z\|>\|a\|\) 扩大了。
抵消后，函数变为 \(Y(z) = \frac{\prod_{k=1}^{m-1} (z - \|a\|e^{j\frac{2\pi k}{m}})}{z^{m-1}}\) 。
因此，收敛域变为 \(\|z\|>0\) (假设 \(a \neq 0\) )。
图表示例: \(Y(z)\) 零极点分布图 (描述)
- 极点：原点 \(z=0\) 处有 \(m-1\) 阶极点。
- 零点： \(m-1\) 个零点均匀分布在半径为 \(\|a\|\) 的圆上 (不包括 \(z=\|a\|\) )。
- 收敛域： \(\|z\| > 0\) 。
示例 2：求双曲余弦和双曲正弦序列的 Z 变换¶
\(x[n]=cosh[n\omega_{0}]u[n]\)
\(y[n]=sinh[n\omega_{0}]u[n]\)
解：
已知 \(Z\{e^{n\omega_{0}}u[n]\} = \frac{z}{z-e^{\omega_{0}}}\) , ROC: \(\|z\| > \|e^{\omega_{0}}\|\)
\(Z\{e^{-n\omega_{0}}u[n]\} = \frac{z}{z-e^{-\omega_{0}}}\) , ROC: \(\|z\| > \|e^{-\omega_{0}}\|\)
\(cosh[n\omega_{0}] = \frac{e^{n\omega_{0}}+e^{-n\omega_{0}}}{2}\)
\(Z\{cosh[n\omega_{0}]u[n]\} = Z\{(\frac{e^{n\omega_{0}}+e^{-n\omega_{0}}}{2})u[n]\}\)
\(= \frac{1}{2}Z\{e^{n\omega_{0}}u[n]\} + \frac{1}{2}Z\{e^{-n\omega_{0}}u[n]\}\)
\(= \frac{1}{2}\frac{z}{z-e^{\omega_{0}}} + \frac{1}{2}\frac{z}{z-e^{-\omega_{0}}}\)
\(= \frac{z(z-e^{-\omega_{0}}) + z(z-e^{\omega_{0}})}{2(z-e^{\omega_{0}})(z-e^{-\omega_{0}})}\)
\(= \frac{z(2z - (e^{\omega_{0}}+e^{-\omega_{0}}))}{2(z^{2} - (e^{\omega_{0}}+e^{-\omega_{0}})z + 1)}\)
\(= \frac{z(z - cosh\omega_{0})}{z^{2} - 2zcosh\omega_{0} + 1}\) , ROC: \(\|z\| > max(\|e^{\omega_{0}}\|,\|e^{-\omega_{0}}\|)\)
\(sinh[n\omega_{0}] = \frac{e^{n\omega_{0}}-e^{-n\omega_{0}}}{2}\)
\(Z\{sinh[n\omega_{0}]u[n]\} = \frac{1}{2}Z\{e^{n\omega_{0}}u[n]\} - \frac{1}{2}Z\{e^{-n\omega_{0}}u[n]\}\)
\(= \frac{1}{2}\frac{z}{z-e^{\omega_{0}}} - \frac{1}{2}\frac{z}{z-e^{-\omega_{0}}}\)
\(= \frac{z(z-e^{-\omega_{0}}) - z(z-e^{\omega_{0}})}{2(z-e^{\omega_{0}})(z-e^{-\omega_{0}})}\)
\(= \frac{z(e^{\omega_{0}}-e^{-\omega_{0}})}{2(z^{2} - 2zcosh\omega_{0} + 1)}\)
\(= \frac{z sinh\omega_{0}}{z^{2} - 2zcosh\omega_{0} + 1}\) , ROC: \(\|z\| > max(\|e^{\omega_{0}}\|,\|e^{-\omega_{0}}\|)\)
3 Z 变换位移性质¶
3.1 双边 Z 变换位移性质¶
如果序列 \(x[n]\) 的双边 Z 变换为：
\(Z\{x[n]\}=X(z)\) , 收敛域 \(R_{x_{-}}<\|z\|<R_{x_{+}}\)
则序列经过位移后的 Z 变换为：
\(Z\{x[n-m]\}=z^{-m}X(z)\) , 收敛域 \(R_{x_{-}}<\|z\|<R_{x_{+}}\) (收敛域不变)
\(Z\{x[n+m]\}=z^{m}X(z)\) , 收敛域 \(R_{x_{-}}<\|z\|<R_{x_{+}}\) (收敛域不变)
证明 \(Z\{x[n-m]\}=z^{-m}X(z)\) :
\(Z\{x[n-m]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-m]z^{-n}\)
令 \(k=n-m\) , 则 \(n=k+m\)
\(= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]z^{-(k+m)} = z^{-m}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]z^{-k} = z^{-m}X(z)\)
收敛域不变。同理可证 \(Z\{x[n+m]\}=z^{m}X(z)\) 。
3.2 单边 Z 变换位移性质¶
如果 \(x[n]\) 是一个序列 (不一定是因果序列)，它的单边 Z 变换定义为 \(Z\{x[n]u[n]\}\) 。
令 \(X(z) = Z\{x[n]u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\) 。
则序列右移的单边 Z 变换为 (对于 \(m>0\) )：
\(Z\{x[n-m]u[n]\} = z^{-m}[X(z)+\sum_{k=-m}^{-1}x[k]z^{-k}]\)
关键概念：对于因果序列 \(x[n]\) (即 \(x[k]=0\) for \(k<0\) ), 则 \(\sum_{k=-m}^{-1}x[k]z^{-k} = 0\) 。此时 \(Z\{x[n-m]u[n]\}=z^{-m}X(z)\) 。
序列左移的单边 Z 变换为 (对于 \(m>0\) )：
\(Z\{x[n+m]u[n]\} = z^{m}[X(z)-\sum_{k=0}^{m-1}x[k]z^{-k}]\)
证明右移性质：
\(Z\{x[n-m]u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty}x[n-m]z^{-n}\)
令 \(k=n-m\) , 则 \(n=k+m\) 。当 \(n=0, k=-m\) 。当 \(n=\infty, k=\infty\) 。
\(= \sum_{k=-m}^{\infty}x[k]z^{-(k+m)} = z^{-m}\sum_{k=-m}^{\infty}x[k]z^{-k}\)
\(= z^{-m}[\sum_{k=-m}^{-1}x[k]z^{-k} + \sum_{k=0}^{\infty}x[k]z^{-k}]\)
\(= z^{-m}[X(z) + \sum_{k=-m}^{-1}x[k]z^{-k}]\) (PDF 中的顺序与此略有不同，但结果一致)
3.3 示例¶
例题 1：
已知 \(x[n]=\delta[n+1]+2\delta[n]+\delta[n-1]\)
求 \(x[n]\) , \(x[n+1]\) , \(x[n-1]\) 的单边 Z 变换。
解：
\(x[-1]=1, x[0]=2, x[1]=1\) .
单边 Z 变换 \(X_U(z) = Z\{x[n]u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\)
\(X_U(z) = x[0]z^0 + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \dots\)
\(= 2 \cdot z^0 + 1 \cdot z^{-1} + 0 + \dots = 2+z^{-1}\)
\(Z\{x[n-1]u[n]\}\) : 右移 \(m=1\) .
\(= z^{-1}[X_{U}(z) + \sum_{k=-1}^{-1}x[k]z^{-k}] = z^{-1}[X_{U}(z) + x[-1]z^{1}]\)
\(= z^{-1}[2+z^{-1} + 1 \cdot z] = z^{-1}[2+z^{-1}+z] = 2z^{-1}+z^{-2}+1 = 1+2z^{-1}+z^{-2}\)
\(Z\{x[n+1]u[n]\}\) : 左移 \(m=1\) .
\(= z^{1}[X_{U}(z) - \sum_{k=0}^{0}x[k]z^{-k}] = z[X_{U}(z) - x[0]z^{0}]\)
\(= z[2+z^{-1} - 2] = z[z^{-1}] = 1\)
图示序列：
| n | \(x[n]\) | \(x[n]u[n]\) | \(x[n-1]u[n]\) | \(x[n+1]u[n]\) |
| ---- | ------ | ---------- | ------------ | ------------ |
| -2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| -1 | 1 | 0 | \(x[-1]=1\) | \(x[0]=2\) |
| 0 | 2 | \(x[0]=2\) | \(x[0]=2\) | \(x[1]=1\) |
| 1 | 1 | \(x[1]=1\) | \(x[1]=1\) | \(x[2]=0\) |
| 2 | 0 | \(x[2]=0\) | \(x[2]=0\) | \(x[3]=0\) |
单边 Z 变换:
\(Z\{x[n]u[n]\} = 2+z^{-1}\)
\(Z\{x[n-1]u[n]\} = 1+2z^{-1}+z^{-2}\)
\(Z\{x[n+1]u[n]\} = 1\)
结果与公式计算一致。
4 Z 变换初值与终值定理¶
4.1 初值定理¶
如果 \(x[n]\) 为因果序列 (即 \(x[n]=0\) for \(n<0\) ), 且 \(X(z)=Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\) ，则：
\(x[0] = \lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\)
证明：
\(X(z) = x[0] + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \dots\)
\(\lim_{z\rightarrow\infty}X(z) = \lim_{z\rightarrow\infty}(x[0] + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \dots)\)
\(= x[0] + x[1]\cdot 0 + x[2]\cdot 0 + \dots = x[0]\)
4.2 终值定理¶
如果 \(x[n]\) 为因果序列，且 \(X(z)=Z\{x[n]\}\) ，则：
\(\lim_{n\rightarrow\infty}x[n] = \lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)\)
关键概念：终值定理条件
序列 \(x[n]\) 必须收敛 (即 \(\lim_{n\rightarrow\infty}x[n]\) 存在)。
这等价于 \((z-1)X(z)\) 的所有极点必须都位于单位圆内，或者说 \(X(z)\) 的所有极点必须位于单位圆内，除了在 \(z=1\) 处可能有一个一阶极点。
一个证明思路 (来自 PDF)：
\(Z\{x[n+1]-x[n]\} = zX(z)-zx[0]-X(z) = (z-1)X(z)-zx[0]\) (PDF 中为 \(zx[n]\) ，应为 \(zx[0]\) )
\(\lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z) = \lim_{z\rightarrow1}zx[0] + \lim_{z\rightarrow1}\sum_{n=0}^{\infty}(x[n+1]-x[n])z^{-n}\)
\(= x[0] + \sum_{n=0}^{\infty}(x[n+1]-x[n])\) (如果和收敛)
\(= x[0] + (x[1]-x[0]) + (x[2]-x[1]) + \dots\)
\(= \lim_{N\rightarrow\infty} x[N+1] = x[\infty]\) (伸缩求和)
4.3 示例¶
例题 1：
设有差分方程： \(x[n]-ax[n-1]=u[n]\) , \(-1<a<1\)
初始条件 \(x[n]=0, n<0\) (即因果系统，初始松弛)。
(1) 使用初值定理和终值定理求 \(x[0], x[\infty]\) 。
(2) 求出 \(x[n]\) 的表达式，并验证上述结果。
解：
(1) 对差分方程两边取 Z 变换 (由于是因果且初始松弛, \(Z\{x[n-1]\} = z^{-1}X(z)\) ):
\(X(z) - az^{-1}X(z) = Z\{u[n]\} = \frac{1}{1-z^{-1}}\) (ROC: \(\|z\|>1\) )
\(X(z)(1-az^{-1}) = \frac{1}{1-z^{-1}}\)
\(X(z) = \frac{1}{(1-z^{-1})(1-az^{-1})} = \frac{z^2}{(z-1)(z-a)}\) , ROC: \(\|z\|>1\) (因为 \(-1<a<1\) , 所以 \(a<1\) )
初值定理：
\(x[0] = \lim_{z\rightarrow\infty}X(z) = \lim_{z\rightarrow\infty}\frac{z^2}{(z-1)(z-a)} = \lim_{z\rightarrow\infty}\frac{1}{(1-1/z)(1-a/z)} = 1\)
终值定理：
极点为 \(z=1\) 和 \(z=a\) 。由于 \(-1<a<1\) , 极点 \(z=a\) 在单位圆内。极点 \(z=1\) 在单位圆上 (一阶)。
\((z-1)X(z) = (z-1)\frac{z^2}{(z-1)(z-a)} = \frac{z^2}{z-a}\)
该函数的极点为 \(z=a\) , 在单位圆内。终值定理适用。
\(x[\infty] = \lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z) = \lim_{z\rightarrow1}\frac{z^2}{z-a} = \frac{1^2}{1-a} = \frac{1}{1-a}\)
(2) 求 \(X(z)\) 的反 Z 变换：
\(X(z) = \frac{1}{1-a}(\frac{1}{1-z^{-1}} - \frac{a}{1-az^{-1}})\) (PDF 中的部分分式形式)
\(x[n] = \frac{1}{1-a}(1^n u[n] - a \cdot a^n u[n]) = \frac{1}{1-a}(1-a^{n+1})u[n]\) (PDF 结果)
验证：
\(x[0] = \frac{1}{1-a}(1-a^{0+1})u[0] = \frac{1}{1-a}(1-a) \cdot 1 = 1\) . (与初值定理结果一致)
\(x[\infty] = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{1-a}(1-a^{n+1})\)
由于 \(-1<a<1\) , \(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n+1} = 0\) .
\(x[\infty] = \frac{1}{1-a}(1-0) = \frac{1}{1-a}\) . (与终值定理结果一致)
5 Z 变换时域卷积定理¶
5.1 定义¶
已知 \(x[n]\) 和 \(y[n]\) 的 Z 变换为：
\(X(z)=Z\{x[n]\}\) , 收敛域 \(R_{x_{-}}<\|z\|<R_{x_{+}}\)
\(Y(z)=Z\{y[n]\}\) , 收敛域 \(R_{y_{-}}<\|z\|<R_{y_{+}}\)
则：
\(Z\{x[n]*y[n]\} = X(z) \cdot Y(z)\)
收敛域为 \(max(R_{x_{-}},R_{y_{-}})<\|z\|<min(R_{x_{+}},R_{y_{+}})\) 。
注：当出现收敛域边界的零极点抵消时，收敛域可能扩大。
证明：
\(Z\{x[n]*y[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]y[n-m]) z^{-n}\)
\(= \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m] \sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n-m]z^{-n}\)
令 \(k=n-m\) , 则 \(n=k+m\) .
\(= \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m] \sum_{k=-\infty}^{\infty}y[k]z^{-(k+m)}\)
\(= \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y[k]z^{-k}\)
\(= X(z)Y(z)\)
5.2 解卷积¶
如果 \(y[n]=x[n]*h[n]\) , 则 \(Y(z)=X(z)H(z)\) 。
- 已知 \(Y(z), X(z) \Rightarrow H(z) = Y(z)/X(z) \Rightarrow h[n]\)
- 已知 \(Y(z), H(z) \Rightarrow X(z) = Y(z)/H(z) \Rightarrow x[n]\)
5.3 示例¶
示例 1：¶
已知 LTI 系统的单位脉冲响应为 \(h[n]=a^{n}u[n]\) , \(0<a<1\) 。
系统输入为 \(x[n]=\begin{cases}1, & 0\le n\le N-1\\ 0, & \text{Otherwise}\end{cases}\) 。
求系统的零状态响应 \(y[n]=x[n]*h[n]\) 。
解：
\(H(z) = Z\{a^{n}u[n]\} = \frac{z}{z-a}\) , ROC: \(\|z\|>a\)
\(x[n] = u[n] - u[n-N]\)
\(X(z) = Z\{u[n]\} - Z\{u[n-N]\}\)
\(Z\{u[n]\} = \frac{z}{z-1}\) , ROC: \(\|z\|>1\)
\(Z\{u[n-N]\} = z^{-N}\frac{z}{z-1} = \frac{z^{-N+1}}{z-1}\) , ROC: \(\|z\|>1\)
\(X(z) = \frac{z}{z-1} - \frac{z^{-N+1}}{z-1} = \frac{z-z^{-N+1}}{z-1} = \frac{z(1-z^{-N})}{z-1}\) , ROC: \(\|z\|>1\)
\(Y(z) = X(z)H(z) = \frac{z(1-z^{-N})}{z-1} \cdot \frac{z}{z-a} = \frac{z^2(1-z^{-N})}{(z-1)(z-a)}\) , ROC: \(\|z\|>1\) (因为 \(0<a<1\) )
令 \(Y_1(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z-a)}\) 。则 \(Y(z) = Y_1(z)(1-z^{-N})\) 。
\(\frac{Y_1(z)}{z} = \frac{z}{(z-1)(z-a)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-a}\)
\(A = \frac{1}{1-a}\) , \(B = \frac{a}{a-1} = \frac{-a}{1-a}\)
\(Y_1(z) = \frac{1}{1-a}\frac{z}{z-1} - \frac{a}{1-a}\frac{z}{z-a}\)
\(y_1[n] = (\frac{1}{1-a} - \frac{a}{1-a}a^n)u[n] = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]\)
\(Y(z) = Y_1(z) - z^{-N}Y_1(z)\)
\(y[n] = y_1[n] - y_1[n-N]\)
\(y[n] = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n] - \frac{1-a^{n-N+1}}{1-a}u[n-N]\)
示例 2：求下列两序列的卷积¶
\(h[n]=a^{n}u[n]-a^{n-1}u[n-1]\)
\(x[n]=u[n]\)
解：
\(X(z) = \frac{z}{z-1}\) , ROC: \(\|z\|>1\)
根据 PDF: \(H(z) = \frac{z}{z-a} - \frac{z}{z-a} \cdot z^{-1} = \frac{z-1}{z-a}\) , ROC: \(\|z\|>a\)
(这里假设 \(Z\{a^{n-1}u[n-1]\}\) 是 \(Z\{a \cdot (a^{n-1}u[n-1])\}\) 还是 \(Z\{k[n-1]\}\) 其中 \(k[n]=a^n u[n]\) 。PDF 的推导 \(Z\{a^n u[n]\} - z^{-1}Z\{a^n u[n]\}\) 意味着 \(h[n]\) 实际上是 \(a^n u[n] - a^n u[n-1]\) 。如果严格按照 \(a^{n-1}u[n-1]\) ，则 \(H(z) = \frac{z}{z-a} - \frac{1}{a} \frac{az^{-1}}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a} - \frac{1}{z-a}\) 。但 PDF 结果是 \(\frac{z-1}{z-a}\) 。)
使用 PDF 的 \(H(z)\) :
\(Y(z) = X(z)H(z) = \frac{z}{z-1} \cdot \frac{z-1}{z-a} = \frac{z}{z-a}\)
ROC: \(\max(1,\|a\|) < \|z\|\) 。由于 \(z=1\) 处的零极点抵消，收敛域扩大为 \(\|z\|>\|a\|\) 。
\(y[n] = Z^{-1}\{\frac{z}{z-a}\} = a^n u[n]\)
图示： \(Y(z)\) 的收敛域 (描述)
- 零极点抵消在 \(z=1\) 处。
- 极点在 \(z=a\) 。
- 收敛域为 \(\|z\| > \|a\|\) 。
6 Z 变换变换域卷积定理 (序列相乘定理)¶
6.1 定理¶
已知 \(w[n]=x[n] \cdot y[n]\) , 且：
\(X(z)=Z\{x[n]\}\) , 收敛域 \(R_{x_{-}}<\|z\|<R_{x_{+}}\)
\(Y(z)=Z\{y[n]\}\) , 收敛域 \(R_{y_{-}}<\|z\|<R_{y_{+}}\)
则：
\(W(z) = Z\{x[n] \cdot y[n]\} = \frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(v)Y(\frac{z}{v})v^{-1}dv\)
收敛域为 \(R_{x_{-}}R_{y_{-}} < \|z\| < R_{x_{+}}R_{y_{+}}\) 。
积分围线 C (contour of integration) 必须在 \(X(v)\) 和 \(Y(z/v)\) 的收敛域的重叠区域内。
具体来说，C 必须满足：
\(R_{x_{-}} < \|v\| < R_{x_{+}}\)
\(R_{y_{-}} < \|\frac{z}{v}\| < R_{y_{+}} \Rightarrow \frac{\|z\|}{R_{y_{+}}} < \|v\| < \frac{\|z\|}{R_{y_{-}}}\)
所以，围线 C 必须在 \(max(R_{x_{-}}, \frac{\|z\|}{R_{y_{+}}}) < \|v\| < min(R_{x_{+}}, \frac{\|z\|}{R_{y_{-}}})\) 内。
证明 (来自 PDF)：
\(Z\{x[n] \cdot y[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (x[n]y[n])z^{-n}\)
我们知道 \(x[n] = \frac{1}{2\pi j}\oint_{C_1}X(v)v^{n-1}dv\) (PDF 中 \(y[n]\) 被替换)
\(W(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n] (\frac{1}{2\pi j}\oint_{C_1}X(v)v^{n-1}dv) z^{-n}\)
\(= \frac{1}{2\pi j}\oint_{C_1}X(v) (\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n](vz^{-1})^{n}) v^{-1}dv\) (PDF 中为 \(y[n]v^{n-1}z^{-n}\) , 应该为 \(y[n](v/z)^n\) 或 \(y[n](z/v)^{-n}\) )
PDF 的推导: \(\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(v) (\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n](\frac{z}{v})^{-n}) v^{-1}dv\)
The sum is \(Y(z/v)\) .
\(= \frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(v)Y(\frac{z}{v})v^{-1}dv\)
6.2 示例¶
已知 \(x[n]=a^{n}u[n]\) , \(y[n]=b^{n}u[n]\) 。 \(w[n]=x[n] \cdot y[n] = (ab)^n u[n]\) 。
用 z 域卷积定理求 \(W(z)\) 。
解：
\(X(z) = \frac{z}{z-a}\) , ROC: \(\|z\|>\|a\|\) (so \(X(v) = \frac{v}{v-a}\) , ROC: \(\|v\|>\|a\|\) )
\(Y(z) = \frac{z}{z-b}\) , ROC: \(\|z\|>\|b\|\) (so \(Y(z/v) = \frac{z/v}{z/v-b} = \frac{z}{z-bv}\) , ROC: \(\|z/v\|>\|b\| \Rightarrow \|v\|<\|z/b\|\) )
\(W(z) = \frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(v)Y(\frac{z}{v})v^{-1}dv\)
\(= \frac{1}{2\pi j}\oint_{C} \frac{v}{v-a} \cdot \frac{z/v}{z/v-b} \cdot v^{-1} dv\)
\(= \frac{z}{2\pi j}\oint_{C} \frac{1}{(v-a)(z-bv)} dv\)
积分围线 C 必须满足 \(\|a\| < \|v\| < \|z/b\|\) (假设 \(\|z/b\| > \|a\|\) , i.e., \(\|z\| > \|ab\|\) ).
The integrand is \(\frac{1}{(v-a)(-b)(v-z/b)} = \frac{-1/b}{(v-a)(v-z/b)}\) .
The poles of the integrand (with respect to \(v\) ) are at \(v=a\) and \(v=z/b\) .
The contour C encloses the pole \(v=a\) but not \(v=z/b\) .
Using Cauchy's Residue Theorem:
\(W(z) = z \cdot (\text{Residue of } \frac{1}{(v-a)(z-bv)} \text{ at } v=a)\)
Residue at \(v=a\) is \(\lim_{v\rightarrow a} (v-a) \frac{1}{(v-a)(z-bv)} = \frac{1}{z-ab}\)
\(W(z) = z \cdot \frac{1}{z-ab} = \frac{z}{z-ab}\)
ROC: \(\|z\| > \|ab\|\) (derived from \(\|a\| < \|z/b\| \Rightarrow \|ab\| < \|z\|\) ).
This matches \(Z\{(ab)^n u[n]\} = \frac{z}{z-ab}\) .
图示：积分围线 C (描述)
- 复平面 \(v\) 。
- 极点在 \(v=a\) 和 \(v=z/b\) 。
- 围线 C 是一个圆，其半径 \(\rho\) 满足 \(\|a\| < \rho < \|z/b\|\) 。C 逆时针环绕 \(v=a\) 。
7 应用 LT 求解微分方程¶
7.1 基本步骤¶
- 微分方程: \(\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{d^{k}}{dt^{k}}y(t)=\sum_{r=0}^{M}b_{r}\frac{d^{r}}{dt^{r}}x(t)\)
- 取单边拉普拉斯变换 (LT): 利用微分性质 \(L\{\frac{d^{n}}{dt^{n}}x(t)\} = s^{n}X(s) - \sum_{j=0}^{n-1}s^{j}x^{(n-1-j)}(0_{-})\)
- 代数方程: 将微分方程转换为关于 \(Y(s)\) 和 \(X(s)\) 的代数方程，包含初始条件。
\(\sum_{k=0}^{N}a_{k}[s^{k}Y(s)-\sum_{l=0}^{k-1}s^{l}y^{(k-1-l)}(0_{-})] = \sum_{r=0}^{M}b_{r}[s^{r}X(s)-\sum_{m=0}^{r-1}s^{m}x^{(r-1-m)}(0_{-})]\) - 求解 \(Y(s)\) :
\(Y(s)\) 可以分解为零状态响应 \(Y_{zs}(s)\) 和零输入响应 \(Y_{zi}(s)\) 。
\(Y_{zs}(s) = H(s)X_{eff}(s)\) where \(X_{eff}(s)\) 包含输入信号及其初始条件。
\(Y_{zi}(s)\) 只包含系统输出的初始条件。
系统函数 \(H(s) = \frac{\sum_{r=0}^{M}b_{r}s^{r}}{\sum_{k=0}^{N}a_{k}s^{k}}\) (在零初始条件下定义， \(Y(s)=H(s)X(s)\) ) - LT 反变换: \(y(t) = L^{-1}\{Y(s)\}\)
7.2 示例¶
示例 (Page 197):¶
求解微分方程 \(\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}+13\frac{df(t)}{dt}+40f(t)=0\)
已知 \(f(0_{-})=2, f^{\prime}(0_{-})=-4\)
解：
对方程两边取 LT:
\((s^2F(s) - sf(0_{-}) - f^{\prime}(0_{-})) + 13(sF(s) - f(0_{-})) + 40F(s) = 0\)
\(F(s)(s^2+13s+40) = s f(0_{-}) + f^{\prime}(0_{-}) + 13f(0_{-})\)
\(F(s) = \frac{s(2) + (-4) + 13(2)}{s^2+13s+40} = \frac{2s-4+26}{s^2+13s+40} = \frac{2s+22}{(s+5)(s+8)}\)
\(F(s) = \frac{A}{s+5} + \frac{B}{s+8}\)
\(A = \frac{2(-5)+22}{-5+8} = \frac{12}{3}=4\)
\(B = \frac{2(-8)+22}{-8+5} = \frac{6}{-3}=-2\)
\(F(s) = \frac{4}{s+5} - \frac{2}{s+8}\)
求 LT 反变换:
\(f(t) = (4e^{-5t} - 2e^{-8t})u(t)\)
示例 1 (Page 198):¶
因果 LTI 系统的微分方程: \(\frac{d^{2}}{dt^{2}}y(t)+\frac{3}{2}\frac{d}{dt}y(t)+\frac{1}{2}y(t)=5e^{-3t}u(t)\)
已知 \(y(0_{-})=1, y^{\prime}(0_{-})=0\)
求系统的全响应 \(y(t)\) 以及零状态响应 \(y_{zs}(t)\) 和零输入响应 \(y_{zi}(t)\) 。
解：
对方程两边取 LT:
\((s^2Y(s)-sy(0_{-})-y^{\prime}(0_{-})) + \frac{3}{2}(sY(s)-y(0_{-})) + \frac{1}{2}Y(s) = \frac{5}{s+3}\)
\(Y(s)(s^2+\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}) - s(1) - 0 - \frac{3}{2}(1) = \frac{5}{s+3}\)
\(Y(s)(s^2+\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}) = \frac{5}{s+3} + s + \frac{3}{2}\)
\(Y(s) = \frac{\frac{5}{s+3}}{s^2+\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}} + \frac{s+\frac{3}{2}}{s^2+\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}}\)
\(Y_{zs}(s) = \frac{5}{(s+3)(s+1)(s+1/2)}\)
\(Y_{zi}(s) = \frac{s+3/2}{(s+1)(s+1/2)}\)
\(Y_{zs}(s) = \frac{1}{s+3} - \frac{5}{s+1} + \frac{4}{s+1/2}\) (根据 PDF 部分分式结果)
\(y_{zs}(t) = (e^{-3t} - 5e^{-t} + 4e^{-t/2})u(t)\)
\(Y_{zi}(s) = \frac{-1}{s+1} + \frac{2}{s+1/2}\) (根据 PDF 部分分式结果)
\(y_{zi}(t) = (-e^{-t} + 2e^{-t/2})u(t)\)
系统全响应 \(y(t) = y_{zs}(t) + y_{zi}(t)\)
\(y(t) = (e^{-3t} - 6e^{-t} + 6e^{-t/2})u(t)\)
8 应用 ZT 求解差分方程¶
8.1 基本步骤¶
- 差分方程: \(\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{r=0}^{M}b_{r}x[n-r]\)
- 取单边 Z 变换:
- 右移: \(Z\{f[n-m]u[n]\} = z^{-m}[F(z)+\sum_{j=-m}^{-1}f[j]z^{-j}]\) (对于 \(m>0\) )
- 左移: \(Z\{f[n+m]u[n]\} = z^{m}[F(z)-\sum_{j=0}^{m-1}f[j]z^{-j}]\) (对于 \(m>0\) )
- 代数方程: 将差分方程转换为关于 \(Y(z)\) 和 \(X(z)\) 的代数方程，包含初始条件。
- 求解 \(Y(z)\) :
\(Y(z)\) 可以分解为零状态响应 \(Y_{zs}(z)\) 和零输入响应 \(Y_{zi}(z)\) 。 - ZT 反变换: \(y[n] = ZT^{-1}\{Y(z)\}\)
8.2 示例¶
示例 1 (Page 199):¶
求解系统的差分方程: \(y[n+2]-\frac{3}{2}y[n+1]+\frac{1}{2}y[n]=(\frac{1}{4})^{n}\) , \(n\ge0\)
已知: \(y[0]=10, y[1]=4\)
解：
对方程两边取 Z 变换 (使用左移性质):
\(Z\{y[n+2]\} = z^2(Y(z)-y[0]-y[1]z^{-1})\)
\(Z\{y[n+1]\} = z(Y(z)-y[0])\)
\(Z\{(\frac{1}{4})^n u[n]\} = \frac{z}{z-1/4}\)
\((z^2(Y(z)-y[0]-y[1]z^{-1})) - \frac{3}{2}(z(Y(z)-y[0])) + \frac{1}{2}Y(z) = \frac{z}{z-1/4}\)
\(Y(z)(z^2 - \frac{3}{2}z + \frac{1}{2}) - z^2y[0] - zy[1] + \frac{3}{2}zy[0] = \frac{z}{z-1/4}\)
代入 \(y[0]=10, y[1]=4\) :
\(Y(z)(z-1)(z-1/2) = \frac{z}{z-1/4} + 10z^2 + 4z - 15z = \frac{z}{z-1/4} + 10z^2 - 11z\)
\(Y(z) = \frac{z + (10z^2-11z)(z-1/4)}{(z-1/4)(z-1)(z-1/2)} = \frac{10z^3 - 13.5z^2 + 3.75z}{(z-1/4)(z-1)(z-1/2)}\)
PDF 中给出 \(\frac{Y(z)}{z} = \frac{10z^2 - \frac{27}{2}z + \frac{15}{4}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{2})(z-1)}\)
\(\frac{Y(z)}{z} = \frac{16/3}{z-1/4} + \frac{4}{z-1/2} + \frac{2/3}{z-1}\) (根据 PDF 部分分式结果)
\(Y(z) = \frac{16}{3}\frac{z}{z-1/4} + 4\frac{z}{z-1/2} + \frac{2}{3}\frac{z}{z-1}\)
\(y[n] = [\frac{16}{3}(\frac{1}{4})^n + 4(\frac{1}{2})^n + \frac{2}{3}(1)^n]u[n]\)
示例 2 (Page 200):¶
已知系统差分方程: \(y[n]-\frac{3}{2}y[n-1]+\frac{1}{2}y[n-2]=(\frac{1}{4})^{n}\) , \(n\ge0\)
起始条件: \(y[-1]=4, y[-2]=10\)
解：
对方程两边取 Z 变换 (使用右移性质):
\(Z\{y[n-1]\} = z^{-1}Y(z) + y[-1]\)
\(Z\{y[n-2]\} = z^{-2}Y(z) + z^{-1}y[-1] + y[-2]\)
\(Z\{(\frac{1}{4})^n u[n]\} = \frac{1}{1-(1/4)z^{-1}}\)
\(Y(z) - \frac{3}{2}(z^{-1}Y(z)+y[-1]) + \frac{1}{2}(z^{-2}Y(z)+z^{-1}y[-1]+y[-2]) = \frac{1}{1-(1/4)z^{-1}}\)
\(Y(z)(1-\frac{3}{2}z^{-1}+\frac{1}{2}z^{-2}) = \frac{1}{1-(1/4)z^{-1}} + \frac{3}{2}y[-1] - \frac{1}{2}z^{-1}y[-1] - \frac{1}{2}y[-2]\)
代入 \(y[-1]=4, y[-2]=10\) :
\(Y(z)(1-\frac{3}{2}z^{-1}+\frac{1}{2}z^{-2}) = \frac{1}{1-(1/4)z^{-1}} + 6 - 2z^{-1} - 5 = \frac{1}{1-(1/4)z^{-1}} + 1 - 2z^{-1}\)
\(Y(z) = \frac{\frac{1}{1-(1/4)z^{-1}} + 1 - 2z^{-1}}{1-\frac{3}{2}z^{-1}+\frac{1}{2}z^{-2}} = \frac{2 - (9/4)z^{-1} + (1/2)z^{-2}}{(1-(1/4)z^{-1})(1-z^{-1})(1-(1/2)z^{-1})}\)
根据 PDF 部分分式结果:
\(Y(z) = \frac{1/3}{1-(1/4)z^{-1}} + \frac{1}{1-(1/2)z^{-1}} + \frac{2/3}{1-z^{-1}}\)
\(y[n] = [\frac{1}{3}(\frac{1}{4})^n + (\frac{1}{2})^n + \frac{2}{3}(1)^n]u[n]\)
分解为零状态和零输入响应 (根据 PDF):
\(Y_{zs}(z) = \frac{\frac{1}{1-(1/4)z^{-1}}}{(1-z^{-1})(1-\frac{1}{2}z^{-1})} = \frac{1/3}{1-(1/4)z^{-1}} - \frac{2}{1-(1/2)z^{-1}} + \frac{8/3}{1-z^{-1}}\)
\(y_{zs}[n]=[\frac{1}{3}(\frac{1}{4})^{n}-2(\frac{1}{2})^{n}+\frac{8}{3}]u[n]\)
\(Y_{zi}(z) = \frac{1-2z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-\frac{1}{2}z^{-1})} = \frac{3}{1-(1/2)z^{-1}} - \frac{2}{1-z^{-1}}\)
\(y_{zi}[n]=[3(\frac{1}{2})^{n}-2]u[n]\)
\(y[n] = y_{zs}[n] + y_{zi}[n] = [\frac{1}{3}(\frac{1}{4})^n + (\frac{1}{2})^n + \frac{2}{3}]u[n]\) (与全响应一致)
9 FT, LT, ZT 之间关系¶
9.1 常用信号分析变换图¶
该图展示了不同变换之间的联系：
- 连续时间信号:
- 周期信号 \(\xrightarrow{FS}\) 离散频谱 (Fourier Series)
- 非周期信号 \(\xrightarrow{FT}\) 连续频谱 (Fourier Transform)
- 一般信号 \(\xrightarrow{LT}\) s 平面 (Laplace Transform)
- 离散时间信号:
- 周期序列 \(\xrightarrow{DTFS}\) 周期离散频谱 (Discrete Time Fourier Series)
- 非周期序列 \(\xrightarrow{DTFT}\) 周期连续频谱 (Discrete Time Fourier Transform)
- 一般序列 \(\xrightarrow{ZT}\) z 平面 (Z Transform)
- DFT/FFT: 有限长序列 \(\xrightarrow{DFT/FFT}\) 有限长离散频谱 (Discrete Fourier Transform / Fast Fourier Transform)
关键概念：变换间转换
- LT \(\xrightarrow{s=j\omega}\) FT
- ZT \(\xrightarrow{z=e^{j\Omega}}\) DTFT (PDF 中为 \(z=e^{j\omega}\) 或 \(z=e^{j\Omega T_s}\) )
- LT (连续) \(\xrightarrow{\text{离散化}}\) ZT (离散) (via \(z = e^{sT_s}\) or \(s = \frac{1}{T_s} \ln z\) )
- FT (连续) \(\xrightarrow{\text{离散化}}\) DTFT (离散)
- DTFT \(\xrightarrow{\text{频谱离散化/周期延拓}}\) DFT
- DTFS 与 DFT 在计算上类似。
9.2 变换缩写表¶
| 缩写 | 中文全称 | 英文全称 |
|---|---|---|
| FS | 傅里叶级数 | Fourier Series |
| FT | 傅里叶变换 | Fourier Transform |
| LT | 拉氏变换 | Laplace Transform |
| ZT | Z 变换 | Z Transform |
| DTFT | 离散时间序列傅里叶变换 | Discrete Time Fourier Transform |
| DTFS | 周期序列傅里叶级数 | Discrete Time Fourier Series |
| DFT | 离散傅里叶变换 | Discrete Fourier Transform |
| FFT | 快速傅里叶变换 | Fast Fourier Transform |
10 FT 与 LT 之间关系¶
- 傅里叶变换 (FT): \(F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\)
- 双边拉氏变换 (LT): \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\) , where \(s=\sigma+j\omega\)
- 单边拉氏变换: \(F(s) = \int_{0_{-}}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\)
关键概念：LT 与 FT 的转换
- 如果 LT 的收敛域包含虚轴 ( \(\sigma=0\) ), 则 FT 是 LT 在 \(s=j\omega\) 时的特例: \(F(j\omega) = F(s)|_{s=j\omega}\)
- 对于因果信号 \(f(t)u(t)\) , 其单边 LT 为 \(F_L(s)\) 。若 \(f(t)u(t)e^{-\sigma t}\) 绝对可积，则 \(F_L(\sigma+j\omega) = FT\{f(t)u(t)e^{-\sigma t}\}\) 。
收敛域与 FT 的存在性：
1. ** \(\sigma_0 > 0\) : LT 收敛域在右半 s-平面 ( \(Re(s) > \sigma_0 > 0\) ) (PDF 中为 \(\sigma > \sigma_0\) ) 。虚轴不包含在内，FT 一般不存在。例: \(e^{at}u(t), a>0\) , \(L(s)=\frac{1}{s-a}\) , ROC: \(\sigma>a\) .
2. ** \(\sigma_0 < 0\) : LT 收敛域包含虚轴 ( \(Re(s) > \sigma_0\) , \(\sigma_0<0\) )。FT 存在, \(F(j\omega)=F(s)|_{s=j\omega}\) . 例: \(e^{-at}u(t), a>0\) , \(L(s)=\frac{1}{s+a}\) , ROC: \(\sigma>-a\) . \(FT = \frac{1}{j\omega+a}\) .
3. ** \(\sigma_0 = 0\) **: LT 收敛域边界是虚轴 ( \(Re(s)>0\) )。FT 可能存在，但可能包含冲激函数。例: \(u(t)\) , \(L(s)=\frac{1}{s}\) , ROC: \(\sigma>0\) . \(FT = \frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)\) .
图示 (s-平面收敛域描述)：
- \(e^{at}u(t)\) ( \(a>0\) ): ROC 是 \(\sigma > a\) (虚轴右侧，不含虚轴)。
- \(e^{-at}u(t)\) ( \(a>0\) ): ROC 是 \(\sigma > -a\) (包含虚轴的右半平面)。
11 LT 与 ZT 之间关系¶
11.1 定义之间的推导¶
连续信号 \(x(t)\) 经过理想采样得到脉冲序列信号 \(x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)\) 。
\(X_s(s) = L\{x_s(t)\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)e^{-snT_s}\) 。
令 \(x[n] = x(nT_s)\) (离散时间序列)，并进行变量代换 \(z = e^{sT_s}\) ，则：
\(X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\)
这是从 LT 到 ZT 的一种推导方式。
同时， \(X_s(s)\) 也可以表示为 \(X_s(s) = \frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(s-jk\omega_s)\) ，其中 \(\omega_s = 2\pi/T_s\) 。
11.2 LT 与 ZT 表达式之间的关系 (冲激响应不变法)¶
如果连续信号 \(x(t)\) 的 LT 为 \(X(s) = \sum_{i=1}^{N}\frac{A_{i}}{s-p_{i}}\) (即 \(x(t)=\sum_{i=1}^{N}A_{i}e^{p_{i}t}u(t)\) )。
对应的离散序列 \(x[n] = x(nT_s) = \sum_{i=1}^{N}A_{i}e^{p_{i}nT_s}u[n]\) 。
其 Z 变换为 \(X(z) = \sum_{i=1}^{N}\frac{A_{i}}{1-e^{p_{i}T_s}z^{-1}}\) 。
这种从 s 域极点 \(p_i\) 到 z 域极点 \(e^{p_iT_s}\) 的映射称为冲激响应不变法。
常用信号的拉氏变换与 Z 变换表：
| 序号 | \(x(t)\) (连续) | \(X(s)\) (LT) | \(x[n]=x(nT_s)\) (离散) | \(X(z)\) (ZT) |
|---|---|---|---|---|
| ① | \(\delta(t)\) | \(1\) | \(\delta[n]\) (PDF 为 \(\delta[nT]\) ) | \(1\) |
| ② | \(u(t)\) | \(\frac{1}{s}\) | \(u[n]\) (PDF 为 \(u[nT]\) ) | \(\frac{z}{z-1}\) |
| ③ | \(t u(t)\) | \(\frac{1}{s^2}\) | \(nT_s u[n]\) (PDF 为 \(t\) ) | \(\frac{T_s z}{(z-1)^2}\) (PDF 为 \(\frac{zT}{(z-1)^2}\) ) |
| ④ | \(e^{-at}u(t)\) | \(\frac{1}{s+a}\) | \(e^{-anT_s}u[n]\) | \(\frac{z}{z-e^{-aT_s}}\) |
| ⑤ | \(t^2 u(t)\) | \(\frac{2}{s^3}\) | \((nT_s)^2 u[n]\) (PDF 为 \(t^2\) ) | \(\frac{T_s^2 z(z+1)}{(z-1)^3}\) |
| ⑥ | \(\sin(\omega_0 t)u(t)\) | \(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) | \(\sin(n\omega_0 T_s)u[n]\) | \(\frac{z\sin(\omega_0 T_s)}{z^2-2z\cos(\omega_0 T_s)+1}\) |
| ⑦ | \(\cos(\omega_0 t)u(t)\) | \(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\) | \(\cos(n\omega_0 T_s)u[n]\) | \(\frac{z(z-\cos(\omega_0 T_s))}{z^2-2z\cos(\omega_0 T_s)+1}\) |
| ⑧ | \(te^{-at}u(t)\) | \(\frac{1}{(s+a)^2}\) | \(nT_s e^{-anT_s}u[n]\) | \(\frac{T_s z e^{-aT_s}}{(z-e^{-aT_s})^2}\) |
| ⑨ | \(e^{-at}\sin(\omega_0 t)u(t)\) | \(\frac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) | \(e^{-anT_s}\sin(n\omega_0 T_s)u[n]\) | \(\frac{z e^{-aT_s}\sin(\omega_0 T_s)}{z^2-2z e^{-aT_s}\cos(\omega_0 T_s)+e^{-2aT_s}}\) |
| ⑩ | \(e^{-at}\cos(\omega_0 t)u(t)\) | \(\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) | \(e^{-anT_s}\cos(n\omega_0 T_s)u[n]\) | \(\frac{z(z-e^{-aT_s}\cos(\omega_0 T_s))}{z^2-2z e^{-aT_s}\cos(\omega_0 T_s)+e^{-2aT_s}}\) |
11.3 LT 与 ZT 收敛域对应关系¶
关键概念：s 平面到 z 平面的映射
\(z = e^{sT_s}\)
令 \(s = \sigma + j\omega\) and \(z = re^{j\theta}\) (PDF 中为 \(z=re^{j\Omega}\) 或 \(z=re^{j\theta}\) ), \(T_s\) 为采样周期。
则 \(r = e^{\sigma T_s}\) and \(\theta = \omega T_s = 2\pi \frac{\omega}{\omega_s}\), 其中 \(\omega_s = \frac{2\pi}{T_s}\)。
映射关系表：
| s-平面 (s-plane) | z-平面 (z-plane) |
|---|---|
| 虚轴 (\(s=j\omega\), \(\sigma=0\)) | 单位圆 (\(z=e^{j\omega T_s}\), \(r=1\)) |
| 右半平面 (\(\sigma > 0\)) | 单位圆外部 (\(r > 1\)) |
| 左半平面 (\(\sigma < 0\)) | 单位圆内部 (\(r < 1\)) |
| 平行于虚轴的直线 (\(s=a+j\omega\)) | 以原点为圆心的圆 (\(r=e^{aT_s}\)) |
| 实轴 (\(s=\sigma\), \(\omega=0\)) | 正实轴 (\(z=e^{\sigma T_s} > 0\)) |
| 平行于实轴的直线 (\(s=\sigma+j\omega_1\)) | 过原点的射线 (\(z=e^{\sigma T_s}e^{j\omega_1 T_s}\)) |
| s 平面原点 (\(s=0\)) | z 平面点 (\(z=1\)) |
| s 平面无穷远点 | z 平面原点或无穷远点 |
图示 (区域映射描述)：
- s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆。
- s 平面的右半平面 (Re[s] > 0) 映射到 z 平面的单位圆外部 (|z| > 1)。
- s 平面的左半平面 (Re[s] < 0) 映射到 z 平面的单位圆内部 (|z| < 1)。
- s 平面上平行于虚轴的直线 \(s=a+j\omega\) 映射到 z 平面上半径为 \(e^{aT_s}\) 的圆。
- s 平面上平行于实轴的直线 \(s=\sigma+j\omega_1\) 映射到 z 平面上过原点角度为 \(\omega_1 T_s\) 的射线。
12 ZT 与 DTFT 之间关系¶
关键概念：DTFT 是 ZT 在单位圆上的表现
离散时间傅里叶变换 (DTFT) \(X (e^{j\Omega})\) (PDF 中用 \(\Omega\) 或 \(\omega\)) 是 Z 变换 \(X (z)\) 在 \(z=e^{j\Omega}\) (即单位圆) 上的取值。
\(DTFT\{x[n]\} = X (z)|_{z=e^{j\Omega}} = X (e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}\)
DTFT 存在的充分条件是 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]| < \infty\) (绝对可和)。
\(X (e^{j\Omega})\) 是关于 \(\Omega\) 的周期函数，周期为 \(2\pi\)。
DTFT 基本性质 (汇总表)：
| 性质名称 | 时域序列 | DTFT |
|---|---|---|
| ① 线性性质 | \(ax_1[n]+bx_2[n]\) | \(aX_1 (e^{j\Omega})+bX_2 (e^{j\Omega})\) |
| ② 序列位移 | \(x[n-n_0]\) | \(e^{-j\Omega n_0}X (e^{j\Omega})\) |
| ③ 频域位移 | \(e^{j\Omega_0 n}x[n]\) | \(X (e^{j (\Omega-\Omega_0)})\) |
| ④ 序列线性加权 | \(nx[n]\) | \(j\frac{d}{d\Omega}X (e^{j\Omega})\) |
| ⑤ 奇偶虚实性 | \(x[n]\) (实序列) | \(X (e^{j\Omega})=X^*(e^{-j\Omega})\) (共轭对称) \(Re[X (e^{j\Omega})]\)偶对称, \(Im[X (e^{j\Omega})]\)奇对称 $ |
| ⑥ 时域卷积定理 | \(x[n]*h[n]\) | \(X (e^{j\Omega}) \cdot H (e^{j\Omega})\) |
| ⑦ 频域卷积定理 | \(x[n] \cdot h[n]\) | \(\frac{1}{2\pi}X (e^{j\Omega}) * H (e^{j\Omega})\) (周期卷积) \(= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X (e^{j\theta}) H (e^{j (\Omega-\theta)}) d\theta\) |
| ⑧ 序列反褶 | \(x[-n]\) | \(X (e^{-j\Omega})\) |
| ⑨ 帕塞瓦尔定理 | $\sum_{n=-\infty}^{\infty} | |
| ⑩ 序列扩展性质 | \(x_{(k)}[n]=\begin{cases}x[n/k],& n=mk\\ 0,& \text{else}\end{cases}\) | \(X (e^{jk\Omega})\) |
常见序列的 DTFT 表 (部分)：
| 序号 | 时域序列 \(x[n]\) | DTFT \(X (e^{j\Omega})\) |
|---|---|---|
| (1) | \(\delta[n]\) | \(1\) |
| (2) | \(1\) (常数) | \(2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (\Omega-2k\pi)\) |
| (3) | \(u[n]\) | \(\frac{1}{1-e^{-j\Omega}}+\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (\Omega-2k\pi)\) |
| (4) | \(a^{n}u[n]\), \(\|a\|<1\) | \(\frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}\) |
| (5) | \(a^{\|n\|}\), \(\|a\|<1\) | \(\frac{1-a^{2}}{1-2a\cos\Omega+a^{2}}\) |
| (6) | \(u[n+M]-u[n-M-1]\) (PDF 为 \(u[n+M]-u[n-M]\)) (矩形脉冲) | \(\frac{\sin[\Omega (M+1/2)]}{\sin (\Omega/2)}\) (PDF 为 \(\frac{\sin[\frac{\Omega}{2}(2M+1)]}{\sin (\frac{\Omega}{2})}\)) |
| (8) | \(e^{j\Omega_0 n}\) | \(2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (\Omega-\Omega_0-2k\pi)\) |
13 从 FT 到 DFT¶
从连续傅里叶变换 (FT) 到离散傅里叶变换 (DFT) 涉及几个关键步骤和可能引入的误差：
1. 截断 (Truncation): 实际信号是无限长的，计算时需要截断成有限长 \(T_1\)。
- \(f_1 (t) = f (t) \cdot g (t)\), 其中 \(g (t)\) 是窗函数。
- 频域表现为 \(F_1 (j\omega) = \frac{1}{2\pi}F (j\omega) * G (j\omega)\)。
- 误差: 频率泄露 (Frequency Leakage)。窗函数的旁瓣导致主谱线能量扩散到相邻频率。
- 补偿: 选择具有良好主瓣窄、旁瓣低的窗函数 (如汉宁窗、海明窗)。增加截断长度 \(T_1\)。
2. 采样 (Sampling): 对截断后的连续信号 \(f_1 (t)\) 以采样周期 \(T_s\) (采样频率 \(f_s = 1/T_s\)) 进行采样，得到离散序列 \(f_s[n] = f_1 (nT_s)\)。
- 时域为 \(f_s (t) = f_1 (t) \cdot \sum \delta (t-nT_s)\)。
- 频域表现为 \(F_s (j\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}F_1 (j (\omega-k\omega_s))\)，即频谱周期延拓。
- 误差: 频率混叠 (Aliasing)。如果采样频率 \(f_s < 2f_{max}\) (奈奎斯特采样定理)，高频成分会混叠到低频。
- 补偿: 提高采样频率 \(f_s\)。在采样前使用抗混叠滤波器 (低通滤波器) 滤除高于 \(f_s/2\) 的频率成分。
3. 频率离散化 (Frequency Discretization / DFT): 对采样后序列的 DTFT \(F_s (e^{j\Omega})\) (或 \(F_s (j\omega)\) 的一个周期) 在 \([0, 2\pi)\) (或 \([0, \omega_s)\)) 上进行 N 点等间隔采样，得到 DFT 系数 \(X[k]\)。
- \(X[k] = F_s (e^{j\frac{2\pi}{N}k})\)。
- 误差: 栅栏效应 (Picket-fence Effect)。DFT 只观察特定频率点，可能错过真实频谱峰值。
- 补偿: 补零 (Zero-padding)。在时域序列尾部补零增加 N 值，从而增加频域采样点数，使频谱更平滑。
总结图示变化：
| 操作 | 时域信号形态 | 频域频谱形态 | 可能误差 | 补偿措施 |
|---|---|---|---|---|
| 原始信号 | \(f (t)\) (连续无限长) | \(F (j\omega)\) (连续非周期) | - | - |
| 截断 | \(f_1 (t)\) (连续有限长) | \(F_1 (j\omega)\) (\(F (j\omega)\)与窗函数频谱卷积) | 频率泄露 | 优良窗函数, 增长 \(T_1\) |
| 采样 | \(f_s[n]\) (离散有限长) | \(F_s (e^{j\Omega})\) (\(F_1 (j\omega)\)周期延拓) | 频率混叠 | 提高 \(f_s\), 抗混叠滤波器 |
| DFT | \(f_s[n]\) (N 点序列) | \(X[k]\) (\(F_s (e^{j\Omega})\)在 N 点上的采样) | 栅栏效应 | 时域补零 |
14 从 DFT 到 FFT¶
DFT 计算复杂度：
\(X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{nk}\), 其中 \(W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)。
- 复数乘法: \(N^2\)
- 复数加法: \(N (N-1)\)
FFT (快速傅里叶变换):
FFT 是一种高效计算 DFT 的算法。
- Cooley-Tukey 算法 (DIT - 时域抽取): 将 N 点 DFT 分解为两个 N/2 点 DFT。
- Sande-Tukey 算法 (DIF - 频域抽取):
FFT 计算复杂度 (对于 \(N=2^M\)):
- 复数乘法: \(\frac{N}{2}\log_2 N\)
- 复数加法: \(N\log_2 N\)
- 改善比 (乘法): \(\frac{N^2}{(N/2)\log_2 N} = \frac{2N}{\log_2 N}\)
DFT 计算冗余分析 (FFT 原理基础)：
1. 简单系数: \(W_N^0 = 1\), \(W_N^{N/2} = -1\)
2. 周期性: \(W_N^{nk+N/2} = -W_N^{nk}\), \(W_N^{nk} = W_N^{(nk) \mod N}\)
3. 对称性: \(W_N^{n (N-k)} = W_N^{-nk} = (W_N^{nk})^*\) (共轭对称)
4. 可约性: \(W_{aN}^{abk} = W_N^{bk}\)
DIT-FFT 算法核心 (蝶形运算)：
将 N 点序列 \(x[n]\) 按奇偶分成两组：
\(x_1[p] = x[2p]\) (偶数项)
\(x_2[p] = x[2p+1]\) (奇数项)
\(X[k] = \sum_{p=0}^{N/2-1}x[2p]W_N^{2pk} + \sum_{p=0}^{N/2-1}x[2p+1]W_N^{(2p+1) k}\)
\(= \sum_{p=0}^{N/2-1}x_1[p]W_{N/2}^{pk} + W_N^k \sum_{p=0}^{N/2-1}x_2[p]W_{N/2}^{pk}\)
\(= X_1[k] + W_N^k X_2[k]\) (对于 \(0 \le k < N/2\))
利用周期性：
\(X[k+N/2] = X_1[k+N/2] + W_N^{k+N/2} X_2[k+N/2]\)
\(= X_1[k] - W_N^k X_2[k]\) (因为 \(X_1[k], X_2[k]\) 是 \(N/2\) 点 DFT，周期为 \(N/2\)； \(W_N^{N/2}=-1\))
蝶形运算单元：
输入 \(A=X_1[k]\) 和 \(B=X_2[k]\)，输出 \(X[k]\) 和 \(X[k+N/2]\)。
\(X[k] = A + W_N^k B\)
\(X[k+N/2] = A - W_N^k B\)
FFT 计算参数确定：
1. 最高分析频率 \(f_m\): 确定信号中感兴趣的最高频率。
2. 采样频率 \(f_s\): 根据奈奎斯特采样定理，\(f_s \ge 2f_m\)。
3. 采样点数 \(N\): 通常取 \(2^M\) 以便使用 FFT。
4. 采样时长 \(T_{total} = N \cdot T_s = N/f_s\)。
5. 频率分辨率 \(\Delta f = f_s/N = 1/T_{total}\): DFT 能分辨的最小频率间隔。
DIT 算法图形说明 (Page 212 描述)：
该图展示了 8 点 DIT-FFT 的信号流图。
- 时域抽取: 输入序列 \(x[n]\) 按比特反转顺序排列。
- 多级蝶形运算:
- 第一级: 2 点 DFT。
- 第二级: 4 点 DFT (由两个 2 点 DFT 和旋转因子构成)。
- 第三级: 8 点 DFT (由两个 4 点 DFT 和旋转因子构成)。
- 频域输出: \(X[k]\) 按自然顺序输出。
- 旋转因子: \(W_N^k\) 在蝶形运算中用于相位调整。