week-13-系统变换域分析

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#信号与系统

§6.0 变换域分析¶

变换域分析是将时域中的微分/差分方程和卷积运算转化为变换域中的代数方程和乘积运算，从而简化LTI系统的分析。

时域分析:
- 微分/差分方程
- 卷积/卷积和: \(y(t) = x(t) * h(t)\)
变换域分析:
- 代数方程: 例如，对于连续系统， \(Y(s) \left[\sum_{i=0}^{N}a_{i}s^{i}\right] = X(s) \left[\sum_{j=0}^{M}b_{j}s^{j}\right]\) (此处PDF原文为 \(a_i s^i\) 和 \(b_j s^j\)，但通常表示为 \(a_i s^{N-i}\) 和 \(b_j s^{M-j}\) 或直接多项式 \(P(s)Y(s)=Q(s)X(s)\))
- 乘积: \(Y(s) = X(s) \cdot H(s)\)
系统函数 \(H(s)\) 或 \(H(z)\):
- 定义: \(H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}\) (零状态响应的变换 / 输入信号的变换)
- 也可以通过单位冲激响应 \(h(t)\) (或 \(h[n]\)) 的变换得到: \(H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\}\), \(H(z) = Z\{h[n]\}\).
- 对于电路，可以直接由元器件的s域模型建立。
系统函数应用:
- 求解系统的零状态响应
- 分析系统的时域特性 (稳定性、因果性、冲激响应波形)
- 分析系统的频域特性 (幅频、相频特性)
- 系统综合与滤波器设计

系统函数零极点图示例:
一个典型的系统函数可以表示为零点和极点的乘积形式：
\(H(s) = K \frac{\prod_{k=1}^{M}(s-z_k)}{\prod_{k=1}^{N}(s-p_k)}\)
其中 \(z_k\) 是零点, \(p_k\) 是极点。

[图示: 一个s平面上的零极点分布图，包含一阶零点、一阶极点、二阶零点、二阶极点。]
(该图在PDF P214)

§6.1 系统函数 (System Function)¶

§6.1.1.1 LTI系统的特征函数与特征值¶

特征函数: 若LTI系统的输入为 \(x(t) = e^{st}\) (复指数信号)，则其零状态响应为 \(y(t) = H(s)e^{st}\)。
- \(e^{st}\) 称为LTI系统的特征函数。
- \(H(s)\) 称为对应于特征函数 \(e^{st}\) 的特征值，它是系统函数在 \(s\) 处的取值。
正弦稳态响应: 若输入为 \(x(t) = \sin(\omega_0 t)\)，对于稳定系统，稳态输出为 \(y_{ss}(t) = |H(j\omega_0)|\sin(\omega_0 t + \angle H(j\omega_0))\)。
- 其中 \(H(j\omega_0)\) 是系统函数 \(H(s)\) 在 \(s=j\omega_0\) 处的取值。
离散时间系统: 若输入为 \(x[n] = z^n\) (或 \(e^{j\omega_0 n}\))，则输出为 \(y[n] = H(z)z^n\) (或 \(H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0 n}\))。
- \(z^n\) (或 \(e^{j\omega_0 n}\)) 是特征函数。
- \(H(z)\) (或 \(H(e^{j\omega_0})\)) 是特征值。
类比: 线性变换 \(L\{\Phi(t)\} = \lambda\Phi(t)\)，\(\Phi(t)\) 是特征函数，\(\lambda\) 是特征值。

§6.1.1.2 求取系统函数¶

由微分/差分方程获得:
- 连续时间系统 (微分方程):
  假设系统微分方程为 \(\sum_{i=0}^{N}C_{i}\frac{d^{N-i}}{dt^{N-i}}y(t) = \sum_{j=0}^{M}E_{j}\frac{d^{M-j}}{dt^{M-j}}x(t)\)。
  在零初始条件下对两边取单边拉普拉斯变换:
  \(Y(s)\sum_{i=0}^{N}C_{i}s^{N-i} = X(s)\sum_{j=0}^{M}E_{j}s^{M-j}\)
  系统函数: \(H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\sum_{j=0}^{M}E_{j}s^{M-j}}{\sum_{i=0}^{N}C_{i}s^{N-i}}\)
- 离散时间系统 (差分方程):
  假设系统差分方程为 \(\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k] = \sum_{r=0}^{M}b_{r}x[n-r]\)。
  在零初始条件下对两边取Z变换 (假设 \(x[n]\) 为因果信号):
  \(Y(z)\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k} = X(z)\sum_{r=0}^{M}b_{r}z^{-r}\)
  系统函数: \(H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{r=0}^{M}b_{r}z^{-r}}{\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k}}\)
由系统单位冲激响应获得:
- 连续时间 (拉普拉斯变换): \(H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int_{0}^{\infty}h(t)e^{-st}dt\) (若为因果系统)
- 连续时间 (傅里叶变换): \(H(j\omega) = \mathcal{F}\{h(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-j\omega t}dt\)
- 离散时间 (Z变换): \(H(z) = Z\{h[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}\) (若为因果系统)
由电路s域模型建立:
将电路中的R, L, C元件替换为它们的s域等效模型 (阻抗或导纳)，并考虑初始条件。
- 电阻 R: \(V_R(s) = RI_R(s)\)
- 电感 L: \(V_L(s) = sLI_L(s) - Li_L(0_-)\) (串联电压源表示初值) 或 \(I_L(s) = \frac{1}{sL}V_L(s) + \frac{1}{s}i_L(0_-)\) (并联电流源表示初值)
- 电容 C: \(V_C(s) = \frac{1}{sC}I_C(s) + \frac{v_C(0_-)}{s}\) (串联电压源表示初值) 或 \(I_C(s) = sCV_C(s) - Cv_C(0_-)\) (并联电流源表示初值)
[图示: 电阻、电感、电容的时域模型和s域模型 (包含初始条件)]
(该图在PDF P218, P220)
由系统框图获得:
根据子系统的串联、并联、反馈等连接关系代数运算得到总系统函数。

§6.1.1.2.0 系统函数与系统框图¶

基本连接方式:

串联: \(H(s) = H_1(s) \cdot H_2(s)\)
Text Only
```
X(s) ---> [H1(s)] ---> [H2(s)] ---> Y(s)
```

并联: \(H(s) = H_1(s) + H_2(s)\)

Text Only

      +---->[H1(s)]----+
      |                |
X(s) --+                +---> Y(s) (summing junction)
      |                |
      +---->[H2(s)]----+

反馈: \(H(s) = \frac{H_1(s)}{1 \mp H_1(s)H_2(s)}\) (负反馈对应+, 正反馈对应-)

Text Only

X(s) -->(+)-->(Σ)--->[H1(s)]---> Y(s)
         ^      |
         |      |
         --(H2(s)]<---(-) (for negative feedback example)

(Σ 表示求和点)

示例1 (框图求系统函数):
[图示: 一个包含前向通路和反馈通路的复杂系统框图 (PDF P219左上角)]
设中间变量 \(W(s)\):
\(W(s) = X(s) - a_1 s^{-1}W(s) - a_2 s^{-2}W(s) \Rightarrow W(s) = \frac{X(s)}{1+a_1s^{-1}+a_2s^{-2}}\)
\(Y(s) = W(s) + b_1 s^{-1}W(s) + b_2 s^{-2}W(s) = (1+b_1s^{-1}+b_2s^{-2})W(s)\)
系统函数: \(H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1+b_1s^{-1}+b_2s^{-2}}{1+a_1s^{-1}+a_2s^{-2}}\)
示例2 (采样保持电路):
[图示: 理想采样开关、积分器、延时单元组成的采样保持电路 (PDF P219右下角)]
输入 \(x(t)\), 理想积分器 \(1/s\), 延时 \(T\) (即 \(e^{-sT}\)).
\(Y(s) = [X(s) - X(s)e^{-sT}] \cdot \frac{1}{s} = \frac{1-e^{-sT}}{s} X(s)\)
系统函数: \(H(s) = \frac{1-e^{-sT}}{s}\)

§6.1.1.2.1 电路s域模型 (举例略，见§6.1.1.2中元件模型)¶

§6.1.1.2.2 电路s域模型举例1 (RLC串联电路阶跃响应)¶

电路: R, L, C 串联，外加直流电压源 \(Eu(t)\)。初始条件为零。
微分方程: \(L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau = Eu(t)\)
s域方程: \(LsI(s) + RI(s) + \frac{1}{Cs}I(s) = \frac{E}{s}\)
电流响应 \(I(s)\): \(I(s) = \frac{E/L}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}\)
令 \(\alpha = \frac{R}{2L}\) (衰减因子)，\(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) (无阻尼振荡频率)。
特征方程 \(s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0\) 的根为 \(p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\)。
\(I(s) = \frac{E/L}{(s-p_1)(s-p_2)}\)
\(i(t) = \frac{E/L}{p_1-p_2}(e^{p_1t} - e^{p_2t})u(t)\)

根据 \(\alpha\) 和 \(\omega_0\) 的关系，响应 \(i(t)\) 分为四种情况:
1. 无损耗 (\(\alpha=0\), 即 \(R=0\)): \(p_{1,2} = \pm j\omega_0\)
\(i(t) = E\sqrt{\frac{C}{L}}\sin(\omega_0 t)u(t)\) (等幅振荡)
2. 欠阻尼 (\(\alpha < \omega_0\)): 令 \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}\) (阻尼振荡频率)。 \(p_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d\)
\(i(t) = \frac{E}{L\omega_d}e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t)u(t)\) (衰减振荡)
3. 临界阻尼 (\(\alpha = \omega_0\)): \(p_1 = p_2 = -\alpha\) (重根)
\(I(s) = \frac{E/L}{(s+\alpha)^2} \Rightarrow i(t) = \frac{E}{L}te^{-\alpha t}u(t)\)
4. 过阻尼 (\(\alpha > \omega_0\)): 令 \(\beta = \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\)。 \(p_{1,2} = -\alpha \pm \beta\) (两个不等的负实根)
\(i(t) = \frac{E}{L\beta}e^{-\alpha t}\sinh(\beta t)u(t) = \frac{E/L}{2\beta}(e^{(-\alpha+\beta)t} - e^{(-\alpha-\beta)t})u(t)\)

§6.1.1.2.3 电路s域模型举例2 (RC电路余弦输入响应)¶

电路: R, C 串联，输入 \(v_1(t) = 10\cos(4t)u(t)\)，\(R=2\Omega, C=1/2 F\)。求输出电压 \(v_2(t)\) (电容电压)。
系统函数: \(H(s) = \frac{V_2(s)}{V_1(s)} = \frac{1/Cs}{R+1/Cs} = \frac{1}{1+RCs} = \frac{1}{1+s}\) (因为 \(RC=1\))
输入变换: \(V_1(s) = \mathcal{L}\{10\cos(4t)u(t)\} = \frac{10s}{s^2+16}\)
输出变换: \(V_2(s) = H(s)V_1(s) = \frac{10s}{(s^2+16)(s+1)}\)
部分分式展开: \(V_2(s) = \frac{As+B}{s^2+16} + \frac{C}{s+1}\)
解得: \(A = \frac{10}{17}, B = \frac{160}{17}, C = -\frac{10}{17}\)
\(V_2(s) = \frac{\frac{10}{17}s + \frac{160}{17}}{s^2+16} - \frac{\frac{10}{17}}{s+1}\)
逆变换: \(v_2(t) = \left( \frac{10}{17}\cos(4t) + \frac{40}{17}\sin(4t) - \frac{10}{17}e^{-t} \right)u(t)\)
整理为: \(v_2(t) = \left( \frac{10}{\sqrt{17}}\cos(4t - 76^\circ) - \frac{10}{17}e^{-t} \right)u(t)\)
- 自由响应 (由系统极点 \(s=-1\) 产生): \(-\frac{10}{17}e^{-t}u(t)\)
- 强迫响应 (由激励极点 \(s=\pm j4\) 产生): \(\left( \frac{10}{17}\cos(4t) + \frac{40}{17}\sin(4t) \right)u(t)\)

§6.1.1.3 系统函数应用¶

求解系统的冲激响应 \(h(t)\) 或 \(h[n]\)
求解系统的零状态响应 \(y(t)\) 或 \(y[n]\)
分析系统的稳定性、因果性
分析系统的频率响应特性
进行系统综合 (如滤波器设计)

示例 (离散时间系统):
差分方程: \(y[n]+0.2y[n-1]-0.24y[n-2]=x[n]+x[n-1]\)
1. 系统函数 \(H(z)\):
\(H(z) = \frac{1+z^{-1}}{1+0.2z^{-1}-0.24z^{-2}} = \frac{z(z+1)}{z^2+0.2z-0.24} = \frac{z(z+1)}{(z-0.4)(z+0.6)}\)
2. 因果系统的收敛域和稳定性:
极点: \(p_1=0.4, p_2=-0.6\)。均在单位圆内。
因果系统收敛域: \(|z| > \max(|0.4|, |-0.6|) \Rightarrow |z|>0.6\)。
收敛域包含单位圆，系统稳定。
3. 单位样值响应 \(h[n]\):
\(\frac{H(z)}{z} = \frac{z+1}{(z-0.4)(z+0.6)} = \frac{1.4}{z-0.4} - \frac{0.4}{z+0.6}\)
\(H(z) = \frac{1.4z}{z-0.4} - \frac{0.4z}{z+0.6}\)
\(h[n] = [1.4(0.4)^n - 0.4(-0.6)^n]u[n]\)
4. 激励 \(x[n]=u[n]\) 时的零状态响应 \(y[n]\):
\(X(z) = \frac{z}{z-1}\), for \(|z|>1\).
\(Y(z) = H(z)X(z) = \frac{z^2(z+1)}{(z-0.4)(z+0.6)(z-1)}\)
\(\frac{Y(z)}{z} = \frac{z(z+1)}{(z-0.4)(z+0.6)(z-1)} = \frac{-0.93}{z-0.4} - \frac{0.15}{z+0.6} + \frac{2.08}{z-1}\) (系数为近似值)
\(y[n] = [-0.93(0.4)^n - 0.15(-0.6)^n + 2.08]u[n]\)

§6.1.1.3.1 系统函数应用1 (RC低通电路对矩形脉冲的响应)¶

RC低通电路，系统函数 \(H(s) = \frac{\alpha}{s+\alpha}\)，其中 \(\alpha = 1/RC\)。
输入 \(v_1(t)\) 为幅值为E，宽度为 \(\tau\) 的矩形脉冲: \(v_1(t) = E[u(t)-u(t-\tau)]\).
\(V_1(s) = \frac{E}{s}(1-e^{-s\tau})\).
\(V_2(s) = H(s)V_1(s) = \frac{\alpha}{s+\alpha} \cdot \frac{E}{s}(1-e^{-s\tau})\).
利用 \(\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\alpha}\):
\(V_2(s) = E\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+\alpha}\right)(1-e^{-s\tau})\)
\(v_2(t) = E(1-e^{-\alpha t})u(t) - E(1-e^{-\alpha(t-\tau)})u(t-\tau)\).
输出信号的高频分量受到衰减。

§6.1.1.3.2 系统函数应用2 (互感电路响应)¶

电路含互感 \(M\)，输入 \(x(t)=u(t)\)。参数 \(L=2H, M=1H, C=2/9 F, R=3\Omega\)。求电阻 \(R\) 上的电压 \(y(t)\)。
推导得系统函数: \(H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\frac{M}{L}s}{\frac{L^2-M^2}{RL}s^2 + s + \frac{1}{RC}}\)
代入参数: \(H(s) = \frac{s/2}{(1/2)s^2 + s + 3/2} = \frac{s}{s^2+2s+3}\).
输入 \(X(s) = 1/s\).
\(Y(s) = H(s)X(s) = \frac{1}{s^2+2s+3} = \frac{1}{(s+1)^2+(\sqrt{2})^2}\).
\(y(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin(\sqrt{2}t)u(t)\).
系统极点: \(p_{1,2} = -1 \pm j\sqrt{2}\).

§6.2 时域特性分析¶

系统函数 \(H(s)\) 或 \(H(z)\) 的零极点分布决定了系统的时域特性。
- \(H(s) = K \frac{\prod (s-z_i)}{\prod (s-p_j)}\)
- \(H(z) = K \frac{\prod (z-z_i)}{\prod (z-p_j)} z^{M-N}\) (一种常用形式)

传递函数的极点分布与单位脉冲响应波形之间的对应关系 (因果系统):

\(h(t)\) / \(h[n]\) 波形	\(H(s)\) 极点位置	\(H(z)\) 极点位置
衰减	左半平面 (LHP)	单位圆内
阶跃 (常量)	原点 (\(s=0\))	\(z=1\)
等幅振荡	虚轴上共轭极点	单位圆上共轭极点
增长	右半平面 (RHP)	单位圆外
实轴极点	(具体分析衰减/增长)	(具体分析衰减/增长)

§6.2.1 传递函数零极点分布确定单位冲激响应 \(h(t)\)¶

\(H(s) = K \frac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_j)} = \sum_{k=1}^{N} \frac{A_k}{s-p_k}\) (假设为N个单阶极点)
\(h(t) = \sum_{k=1}^{N} A_k e^{p_k t} u(t)\)
- 极点 (\(p_k\)) 决定了 \(h(t)\) 中各项指数函数的形式 (衰减率、振荡频率)。
- 零点 (\(z_i\)) 和极点 (\(p_j\)) 共同决定了各项的系数 (\(A_k\))，即幅度和相位。

示例: \(H(s) = K \frac{s+b}{(s+a)^2+\Omega^2}\) (极点 \(p_{1,2}=-a \pm j\Omega\), \(a>0\); 零点 \(s=-b\), \(b>0\))
\(h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{K\left(\frac{s+a}{(s+a)^2+\Omega^2} + \frac{b-a}{(s+a)^2+\Omega^2}\right)\right\}\)
\(h(t) = K \left( e^{-at}\cos(\Omega t) + \frac{b-a}{\Omega}e^{-at}\sin(\Omega t) \right)u(t)\)
\(h(t) = K \frac{\sqrt{(b-a)^2+\Omega^2}}{\Omega} e^{-at} \sin(\Omega t + \arctan\left(\frac{\Omega}{b-a}\right)) u(t)\)
- 极点的实部 \(-a\) 决定衰减速率 \(e^{-at}\)。
- 极点的虚部 \(\Omega\) 决定振荡频率。
- 零点 \(-b\) 的位置影响幅度和初相位。

连续时间LTI系统极点与 \(h(t)\) 的关系 (部分列表):

极点位置	\(H(s)\) 对应项示例	\(h(t)\) (\(t \ge 0\))	特性
\(s=0\) (原点)	\(A/s\)	\(A\)	常量 (阶跃分量)
\(s=-a\) (负实轴, \(a>0\))	\(A/(s+a)\)	\(A e^{-at}\)	指数衰减
\(s=a\) (正实轴, \(a>0\))	\(A/(s-a)\)	\(A e^{at}\)	指数增长
\(s=\pm j\omega_0\) (虚轴共轭)	\(\frac{A s+B}{s^2+\omega_0^2}\)	\(C\cos(\omega_0 t + \phi)\)	等幅振荡
\(s=-a \pm j\omega_d\) (LHP复共轭, \(a>0\))	\(\frac{As+B}{(s+a)^2+\omega_d^2}\)	\(C e^{-at}\cos(\omega_d t + \phi)\)	衰减振荡
\(s=0\) (二重)	\(A/s^2\)	\(At\)	线性增长
\(s=-a\) (二重, \(a>0\))	\(A/(s+a)^2\)	\(Ate^{-at}\)	\(t \times\) 指数衰减

(类似关系适用于 \(H(z)\) 与 \(h[n]\))

§6.2.1.1 零极点位置与系统响应波形 (图形化解释)¶

s平面:
- 极点越靠左 (实部越负)，\(h(t)\) 衰减越快。
- 极点离实轴越远 (虚部越大)，\(h(t)\) 振荡频率越高。
z平面:
- 极点越靠近原点 (模长越小)，\(h[n]\) 衰减越快 (\(|p|^n\))。
- 极点在单位圆上，若无重根，则产生等幅振荡或常量。
  - \(z=1\): 常量。
  - \(z=-1\): \((-1)^n\)，交替。
  - \(z=e^{\pm j\omega_0}\): \(\cos(\omega_0 n)\)。
- 极点在单位圆外，响应增长。
- 极点的辐角 \(\angle p = \omega_0\) 决定了 \(h[n]\) 的振荡频率。

§6.2.2 系统的稳定性与因果性¶

BIBO稳定 (有界输入有界输出稳定):
- 定义: 若输入有界 \(|x(t)| < M_x\)，则输出有界 \(|y(t)| < M_y < \infty\)。
- 连续系统充要条件: \(\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty\).
  - 等价于: \(H(s)\) 的收敛域 (ROC) 包含虚轴 \(j\omega\)。
  - 因果稳定系统: \(H(s)\) 的所有极点都在s平面的左半平面 (LHP)。
- 离散系统充要条件: \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]| < \infty\).
  - 等价于: \(H(z)\) 的收敛域 (ROC) 包含单位圆 \(|z|=1\)。
  - 因果稳定系统: \(H(z)\) 的所有极点都在z平面的单位圆内部。
因果性:
- 连续系统: \(h(t)=0\) for \(t<0\). 若 \(H(s)\) 为有理函数，则其ROC为右半平面 \(Re(s) > \sigma_{max}\) (最右极点的实部)。
- 离散系统: \(h[n]=0\) for \(n<0\). 若 \(H(z)\) 为有理函数，则其ROC为圆外区域 \(|z| > r_{max}\) (模最大极点的模)，且包含 \(z=\infty\)。
临界稳定系统:
- 连续系统: \(H(s)\) 在虚轴上有单阶极点，其余极点在LHP。
- 离散系统: \(H(z)\) 在单位圆上有单阶极点，其余极点在单位圆内部。

§6.2.2.1 系统稳定性举例¶

示例1 (连续反馈系统):
\(G(s) = \frac{1}{(s+2)(s-1)}\)，反馈增益为 \(K\) (负反馈)。
闭环系统函数 \(H(s) = \frac{G(s)}{1+KG(s)} = \frac{1}{(s+2)(s-1)+K} = \frac{1}{s^2+s-2+K}\).
特征方程: \(s^2+s+(-2+K)=0\).
极点: \(p_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(-2+K)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9-4K}}{2}\).
- \(K<2\): 系统不稳定 (例如 \(K=0\), 极点为 \(1, -2\); 极点 \(1\) 在RHP)。
- \(K=2\): 系统临界稳定 (极点为 \(0, -1\); 极点 \(0\) 在虚轴)。
- \(K>2\): 系统稳定 (所有极点在LHP)。
- \(2 < K \le 9/4\): 两个不等的负实极点。
- \(K > 9/4\): 一对共轭复极点，实部为 \(-1/2\) (在LHP)。
(可使用Routh判据: \(s^2+s+(K-2)=0\)。系数 \(1, 1, (K-2)\) 均大于零 \(\Rightarrow K-2>0 \Rightarrow K>2\) 时稳定。)

示例2 (离散因果系统):
\(H(z) = \frac{z^2-1}{z^2+z+k}\).
特征方程: \(z^2+z+k=0\).
为使因果系统稳定，所有极点必须在单位圆内 \(|p|<1\).
极点: \(p_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4k}}{2}\).
1. 实极点 (\(1-4k \ge 0 \Rightarrow k \le 1/4\)):
要求 \(-1 < \frac{-1 \pm \sqrt{1-4k}}{2} < 1\).
解得 \(0 < k \le 1/4\).
2. 复极点 (\(1-4k < 0 \Rightarrow k > 1/4\)):
\(p_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm j\frac{\sqrt{4k-1}}{2}\).
要求 \(|p|^2 < 1 \Rightarrow \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{4k-1}}{2}\right)^2 < 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{4k-1}{4} < 1 \Rightarrow k < 1\).
解得 \(1/4 < k < 1\).
综合两种情况，系统稳定条件为 \(0 < k < 1\).
(可使用Jury判据对 \(P(z)=z^2+z+k=0\) 进行判断:
3. \(P(1) = 1+1+k > 0 \Rightarrow k > -2\).
4. \(P(-1) = 1-1+k > 0 \Rightarrow k > 0\).
5. \(|a_0| < a_2 \Rightarrow |k| < 1 \Rightarrow -1 < k < 1\).
三者交集为 \(0 < k < 1\)。)