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信week-2-典型信号与运算¶

一、对称典型信号¶

1. 高斯信号 (Gaussian Function)¶

定义与特性¶

时域表达式:

\[ f(t) = e^{-t^2} \]

核心性质:
偶对称性: $$ f(t) = f(-t) $$
积分面积:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi} \]

误差函数定义:

\[ \text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{t} e^{-\tau^2} d\tau \]

傅里叶变换推导:

\[ \mathcal{F}\{e^{-t^2}\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} e^{-j\omega t} dt = \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \]

2. 抽样信号 (Sinc Function)¶

定义与特性¶

标准形式:
$$ \text{Sa}(t) = \frac{\sin(t)}{t} $$
MATLAB定义:
$$ \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} $$
关键性质:
过零点: $$ t = \pm k\pi (k=1,2,\dots) $$
积分面积:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \text{Sa}(t) dt = \pi $$
非初等积分函数:
$$ \text{Si}(t) = \int_{0}^{t} \text{Sa}(\tau) d\tau $$

二、信号运算与波形变换¶

10种基本操作与物理意义¶

操作类型	数学表达式	物理意义	示例场景
倍率	$$ k \cdot f(t) $$	信号放大/衰减	音频增益调节
移位	$$ f(t - t_0) $$	时域延迟/超前	雷达信号时延补偿
反褶	$$ f(-t) $$	时间反转	语音倒放分析
尺度变换	$$ f(at) $$	时间压缩/扩展	视频倍速播放
微分	$$ \frac{d}{dt}f(t) $$	边缘检测	ECG信号突变点提取

关键运算公式¶

卷积运算:
$$ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau $$
相关运算:
$$ R_{fg}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t-\tau) dt $$

三、复数信号分解¶

1. 直角坐标与极坐标¶

表达式转换¶

直角坐标 → 极坐标:
$$
|f(t)| = \sqrt{f_R^2(t) + f_I^2(t)}, \quad
\theta(t) = \tan^{-1}\left(\frac{f_I(t)}{f_R(t)}\right)
$$
极坐标 → 直角坐标:
$$
f_R(t) = |f(t)|\cos\theta(t), \quad
f_I(t) = |f(t)|\sin\theta(t)
$$

共轭复数性质¶

运算	公式	说明
模平方	$x^2 = z \cdot z^*$	能量守恒
实部提取	$$ \text{Re}(z) = \frac{z + z^*}{2} $$	信号解调基础

四、系统建模与分类¶

1. 系统模型¶

连续时间系统 (微分方程)¶

\[ \sum_{k=0}^{n} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{m} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k} \]

示例: RLC电路方程

\[ L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = v(t) \]

离散时间系统 (差分方程)¶

\[ \sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] \]

示例: 数字滤波器

\[ y[n] = 0.5x[n] + 0.3x[n-1] + 0.2x[n-2] \]

2. 系统分类对比表¶

分类维度	类型	定义	示例
可逆性	可逆系统	输入与输出一一映射	积分器 ↔ 微分器
	不可逆系统	信息丢失（如平方操作）	$$ y(t) = x^2(t) $$
因果性	因果系统	输出仅依赖当前/过去输入	$$ y[n] = x[n-1] $$
	非因果系统	输出依赖未来输入	$$ y[n] = x[n+1] $$
时变性	时变系统	参数随时间变化	变增益放大器
	时不变系统	参数恒定	理想低通滤波器

五、关键公式推导¶

1. 高斯函数的傅里叶变换¶

\[ \begin{aligned} \mathcal{F}\{e^{-t^2}\} &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} e^{-j\omega t} dt \\ &= \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \quad \text{(通过配方法推导)} \end{aligned} \]

2. 信号能量守恒¶

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} (f_R^2(t) + f_I^2(t)) dt \]

六、典型系统实现示例¶

1. 可逆系统链¶

Matlab

% 积分器与微分器级联
t = 0:0.01:10;
x = sin(t);             % 输入信号
y_int = cumtrapz(x);    % 积分操作
y_diff = diff(y_int);   % 微分操作 (需补零对齐)

2. 离散系统处理流程¶

graph LR
A[连续信号] -->|ADC采样| B[离散序列]
B --> C[数字滤波器]
C -->|DAC重建| D[连续输出]

运算	公式	说明
模平方	\(x^2 = z \cdot z^*\)	能量守恒
实部提取	$$ \text{Re}(z) = \frac{z + z^*}{2} $$	信号解调基础