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#信号与系统 #微分方程 #胡言乱语

week-3-微分方程与差分方程求解

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一般形式

微分方程

$$a_n\frac{d^n}{d{t}^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{d{t}^{n-1}}y(t)+\cdots +a_{0}y(t)=b_m\frac{d^m}{d{t}^m}x(t)+\cdots +b_{0}x(t)$$

差分方程

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

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齐次解与特解

求解步骤

1. 齐次解：解齐次方程 $\sum a_k\frac{d^k}{d{t}^k}y(t)=0$，通过特征方程 $\sum a_k{\lambda }^k=0$ 求根。
2. 特解：根据输入信号形式假设特解形式，代入原方程求解系数。

特征根与齐次解形式

特征根类型	齐次解形式（连续系统）	齐次解形式（离散系统）
单实根 $\lambda$	$A{e}^{\lambda t}$	$A{\lambda }^n$
复根 $\sigma \pm j\omega$	$e^{\sigma t}(C\cos \omega t+D\sin \omega t)$	$r^n(C\cos \theta n+D\sin \theta n)$
重根 $\lambda$（k重）	$(A_0+A_{1}t+\cdots +A_{k-1}{t}^{k-1})e^{\lambda t}$	$(A_0+A_{1}n+\cdots +A_{k-1}{n}^{k-1}){\lambda }^n$

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起始条件与迭代方法

迭代公式（差分方程）

$$y[n]=-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

初始条件：已知 $y[-1],y[-2],\dots ,y[-N]$，迭代计算 $y[0],y[1],\dots ,y[N-1]$。

示例

已知差分方程：$y[n+1]=\alpha y[n]+\delta [n]$，初始条件 $y[0]=1$
迭代解：

$$\begin{array}{rl}y[1]& =\alpha y[0]=\alpha \\ y[2]& =\alpha y[1]={\alpha }^2\\ & ⋮\\ y[n]& ={\alpha }^n\end{array}$$

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奇异函数匹配方法

步骤

1. 将激励信号代入微分方程右侧，确定 $\delta (t)$ 的最高阶次。
2. 假设解的形式包含奇异函数项，如 ${\delta }^{(k)}(t)$。
3. 通过系数匹配求解待定参数。

示例

方程：$\frac{d}{dt}r(t)+3r(t)=3{\delta }^{\prime }(t)$
假设解形式：$r(t)=a\delta (t)+bu(t)$
匹配系数后得：

$$\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-9\\ r(0^{+})=-9,r^{\prime }(0^{+})=27\end{array}$$

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LTI系统响应分析

响应分解

类型	定义
自由响应	齐次解，由系统固有特性决定
强迫响应	特解，由输入信号决定
零输入响应	无输入时由初始条件产生的响应
零状态响应	初始条件为零时由输入信号产生的响应
完全响应	$y(t)=y_{\text{自由}}(t)+y_{\text{强迫}}(t)=y_{\text{零输入}}(t)+y_{\text{零状态}}(t)$