约 590 个字 预计阅读时间 3 分钟 共被读过 次
week-3-微分方程与差分方程求解¶
一般形式¶
微分方程¶
\[ a_n \frac{d^n}{dt^n} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} y(t) + \cdots + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} x(t) + \cdots + b_0 x(t) \]
差分方程¶
\[ \sum_{k=0}^N a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^M b_k x[n-k] \]
齐次解与特解¶
求解步骤¶
- 齐次解：解齐次方程 \(\sum a_k \frac{d^k}{dt^k} y(t) = 0\)，通过特征方程 \(\sum a_k \lambda^k = 0\) 求根。
- 特解：根据输入信号形式假设特解形式，代入原方程求解系数。
特征根与齐次解形式¶
| 特征根类型 | 齐次解形式（连续系统） | 齐次解形式（离散系统） |
|---|---|---|
| 单实根 \(\lambda\) | \(A e^{\lambda t}\) | \(A \lambda^n\) |
| 复根 \(\sigma \pm j\omega\) | \(e^{\sigma t}(C \cos \omega t + D \sin \omega t)\) | \(r^n (C \cos \theta n + D \sin \theta n)\) |
| 重根 \(\lambda\)（k重） | \((A_0 + A_1 t + \cdots + A_{k-1} t^{k-1}) e^{\lambda t}\) | \((A_0 + A_1 n + \cdots + A_{k-1} n^{k-1}) \lambda^n\) |
起始条件与迭代方法¶
迭代公式（差分方程）¶
\[ y[n] = -\sum_{k=1}^N a_k y[n-k] + \sum_{k=0}^M b_k x[n-k] \]
初始条件：已知 \(y[-1], y[-2], \dots, y[-N]\)，迭代计算 \(y[0], y[1], \dots, y[N-1]\)。
示例¶
已知差分方程：\(y[n+1] = \alpha y[n] + \delta[n]\)，初始条件 \(y[0] = 1\)
迭代解：
\[ \begin{aligned} y[1] &= \alpha y[0] = \alpha \\ y[2] &= \alpha y[1] = \alpha^2 \\ &\vdots \\ y[n] &= \alpha^n \end{aligned} \]
奇异函数匹配方法¶
步骤¶
- 将激励信号代入微分方程右侧，确定 \(\delta(t)\) 的最高阶次。
- 假设解的形式包含奇异函数项，如 \(\delta^{(k)}(t)\)。
- 通过系数匹配求解待定参数。
示例¶
方程：\(\frac{d}{dt} r(t) + 3r(t) = 3\delta'(t)\)
假设解形式：\(r(t) = a \delta(t) + b u(t)\)
匹配系数后得：
\[ \begin{cases} a = 3 \\ b = -9 \\ r(0^+) = -9, \quad r'(0^+) = 27 \end{cases}\]
LTI系统响应分析¶
响应分解¶
| 类型 | 定义 |
|---|---|
| 自由响应 | 齐次解，由系统固有特性决定 |
| 强迫响应 | 特解，由输入信号决定 |
| 零输入响应 | 无输入时由初始条件产生的响应 |
| 零状态响应 | 初始条件为零时由输入信号产生的响应 |
| 完全响应 | \(y(t) = y_{\text{自由}}(t) + y_{\text{强迫}}(t) = y_{\text{零输入}}(t) + y_{\text{零状态}}(t)\) |