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#信号与系统 #卷积

卷积与LTI系统分析

1. 卷积的定义与性质

1.1 卷积积分与卷积和

  • 连续时间系统
    \(\(y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)h(\tau)d\tau\)\)
    积分限确定：
  • 若\(f_1(t)\)为因果信号（\(t<0\)时为0），则积分下限为0

  • 若\(f_1(t), f_2(t)\)均为因果信号，则积分区间为$ [0, t] $

  • 离散时间系统

$$
y [n] = x [n] * h [n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x [m] h [n-m]
$$
条件：
- LTI系统零状态响应
- 因果性：\(h [n] =0\)当\(n<0\)

1.2 卷积性质

代数性质

  • 交换律
\[ x(t)*h(t) = h(t)*x(t) \]

离散形式：$x [n] h [n] = h [n] x [n] $

  • 分配律

$$
x(t) [h_1 (t)+h_2 (t)] = x(t)h_1(t) + x(t)*h_2(t)
$$
应用：并联系统的冲激响应为子系统冲激响应之和

  • 结合律
\[ [x(t)*h_1(t)]*h_2(t) = x(t)*[h_1(t)*h_2(t)] \]

离散形式：$x [n] h_1 [n] h_2 [n] = x [n] [h_1 [n] h_2 [n]] $

时移性质

  • 连续时间

微分/积分性质

  • 微分
\[ \frac{d}{dt} [f_1 (t)*f_2 (t)] = f_1'(t)*f_2(t) = f_1(t)*f_2'(t) \]
  • 积分
    $$
    \int_{-\infty}^t [f_1 (\tau)*f_2 (\tau)] d\tau = [\int_{-\infty}^t f_1 (\tau) d\tau] * f_2(t)
    $$

离散形式：

\[ \sum_{m=-\infty}^n [f_1 (m)*f_2 (m)] = [\sum_{m=-\infty}^n f_1 (m)] * f_2(n) \]

时移性质

  • 连续时间
\[ f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2) = f_1(t-t_1-t_2) \]
  • 离散时间
\[ f [n-m_1] *f [n-m_2] = f [n-m_1-m_2] \]

2. 卷积的应用

2.1 LTI系统分析

  • 零状态响应求解
    通过\(h(t)\)直接计算系统输出，避免微分方程求解：
\[ y(t) = x(t)*h(t) \]
  • 系统辨识
    已知输入\(x(t)\)和输出\(y(t)\)，求\(h(t)\)：
\[ h(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}\right\} \]

2.2 信号处理

  • 滤波
    通过设计\(h(t)\)实现噪声抑制：
  • 平滑滤波：$h(t) = \frac{1}{\Delta t} [u (t)-u (t-\Delta t)] $

  • 低通/高通滤波：利用频域特性选择频率成分

  • 信号恢复
    采样信号重建：

\[ f(t) = \sum_{n} f(nT) \cdot \text{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right) \]

2.3 图像处理

  • 二维卷积
\[ y [m, n] = \sum_{k_1}\sum_{k_2} h [k_1, k_2] x [m-k_1, n-k_2] \]
  • 平滑滤波：均值核 \(\frac{1}{9}\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\)
  • 边缘检测：Sobel算子 \(\begin{bmatrix}-1&0&1\\-2&0&2\\-1&0&1\end{bmatrix}\)

3. LTI系统特性与冲激响应

特性 连续时间系统条件 离散时间系统条件
无记忆性 \(h(t)=K\delta(t)\) \(h [n] =K\delta [n]\)
因果性 \(h(t)=0, t<0\) \(h [n] =0, n<0\)
稳定性 \(\int_{-\infty}^\infty h (t)dt < \infty\) \(\sum_{n=-\infty}^\infty h [n] < \infty\)
可逆性 \(\exists h_i(t), h(t)*h_i(t)=\delta(t)\) \(\exists h_i [n] , h [n] *h_i [n] =\delta [n]\)

4. 卷积计算方法

4.1 解析法

  • 关键步骤：
    1. 变量替换：\(\tau \rightarrow t-\tau\)
    2. 反褶：\(h(\tau) \rightarrow h(-\tau)\)
    3. 平移：\(h(-\tau) \rightarrow h(t-\tau)\)
    4. 相乘积分：\(\int x(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

4.2 数值计算

  • 矩阵法示例：
    Python
    x = [2, 1, 4, 1]
h = [3, 1, 5]
y = convolve(x, h)  # 结果为 [6, 5, 23, 12, 21, 5]

4.3 解卷积

  • 逆滤波：
    已知 \(y[n] = x[n]*h[n]\) ，求 \(h[n]\) ：
\[ h[0] = \frac{y[0]}{x[0]}, \quad h[1] = \frac{y[1]-h[0]x[1]}{x[0]} \]

5. 典型例题

例 1：有限长信号卷积

  • 输入：
    \(f_1(t) = \begin{cases}1, & 0 \leq t < 2 \\ 0, & \text{else}\end{cases}\)
    \(f_2(t) = \begin{cases}1, & 1 \leq t < 3 \\ 0, & \text{else}\end{cases}\)

  • 输出分段：

时间区间 积分表达式 结果
\(0 \leq t <1\) \(\int_0^t 1 \cdot 1 d\tau\) \(t\)
\(1 \leq t <3\) \(\int_{t-1}^t 1 \cdot 1 d\tau\) \(1\)
\(3 \leq t <5\) \(\int_{t-1}^3 1 \cdot 1 d\tau\) \(4-t\)

6. 思考题解答

  • 奇偶性分析：
    1. \(f(t), g(t)\) 均为偶函数：卷积结果为偶函数
    2. \(f(t), g(t)\) 均为奇函数：卷积结果为偶函数
    3. \(f(t)\) 奇， \(g(t)\) 偶：卷积结果为奇函数
    推导：利用变量替换 \(\tau \rightarrow -\tau\) 验证对称性