信号与系统：傅里叶分析核心总结¶

一、信号频谱分析基础¶

1.1 傅里叶分析框架¶

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{时域} \quad f(t) \quad \xrightarrow{\text{FT}} \quad F(\omega) \quad \text{频域} \\ &\text{周期信号} \quad \xrightarrow{\text{FS}} \quad \text{离散频谱} \\ &\text{非周期信号} \quad \xrightarrow{\text{FT}} \quad \text{连续频谱} \end{aligned} } \]

1.2 正交函数集合理论¶

正交性验证：

\[ \int_{t_0}^{t_0+T} \cos(n\omega_1 t) \cdot \cos(m\omega_1 t) dt = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ T/2, & n = m \neq 0 \\ T, & n = m = 0 \end{cases} \]

分解公式：

$$
f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_1 t) + b_n \sin(n\omega_1 t) \right]
$$
其中：

\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)dt \\ a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\cos(n\omega_1 t)dt \\ b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\sin(n\omega_1 t)dt \]

二、傅里叶级数（FS）应用¶

2.1 典型周期信号分析¶

周期方波信号¶

$$
f(t) = \frac{4E}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} \sin[(2k+1)\omega_1 t]
$$
频谱特征：
| 谐波次数 | 幅度衰减规律 | 相位特性 |
| -------- | ------------ | -------- |
| 奇数次 | $1/n$ | 交替反相 |
| 偶数次 | 0 | - |

周期三角波信号¶

$$
f(t) = \frac{8E}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)2} \cos[(2k+1)\omega_1 t]
$$
频谱特征：
| 谐波次数 | 幅度衰减规律 | 对称性 |
| -------- | ------------ | ------ |
| 奇数次 | $1/n^2$ | 偶对称 |
| 偶数次 | 0 | - |

2.2 Gibbs 现象¶

关键结论：
- 在不连续点附近出现 9%的过冲
- 过冲幅度不随谐波数增加而减小
- 收敛于间断点的中值

三、傅里叶变换（FT）核心性质¶

3.1 基本变换对¶

\[ \begin{aligned} \mathcal{F}\{\delta(t)\} &= 1 \\ \mathcal{F}\{e^{-at}u(t)\} &= \frac{1}{a+j\omega} \\ \mathcal{F}\{\cos(\omega_0 t)\} &= \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] \end{aligned} \]

3.2 重要性质表¶

性质	时域	频域
线性性	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega)+bG(\omega)$
时移	$f(t-t_0)$	$F(\omega)e^{-j\omega t_0}$
频移	$f(t)e^{j\omega_0 t}$	$F(\omega-\omega_0)$
对称性	$F(t)$	$2\pi f(-\omega)$
时域微分	$f'(t)$	$j\omega F(\omega)$
频域微分	$tf(t)$	$jF'(\omega)$
卷积定理	$f(t)*g(t)$	$F(\omega)G(\omega)$

3.3 帕塞瓦尔定理¶

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega \]

四、周期信号的傅里叶变换¶

4.1 基本公式¶

\[ \mathcal{F}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega_1 t} \right\} = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta(\omega - n\omega_1) \]

4.2 典型案例：周期冲激串¶

\[ \mathcal{F}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) \right\} = \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - k\omega_s) \]

其中 $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$

五、对称性应用实例¶

5.1 矩形脉冲与 Sa 函数¶

\[ \begin{aligned} \text{时域矩形脉冲} &\quad \text{rect}(t/\tau) \quad \xrightarrow{\mathcal{F}} \quad \tau \text{Sa}(\frac{\omega \tau}{2}) \\ \text{频域矩形脉冲} &\quad \tau \text{Sa}(\frac{t \tau}{2}) \quad \xrightarrow{\mathcal{F}} \quad 2\pi \text{rect}(-\omega/\tau) \end{aligned} \]

六、收敛条件（Dirichlet 条件）¶

绝对可积： $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt < \infty$
有限个极大值/极小值
有限个不连续点
不连续点处收敛于左右极限的平均值

七、数学推导关键步骤¶

7.1 傅里叶变换对称性证明¶

\[ \text{已知} \quad f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega \\ \text{将} t \leftrightarrow \omega \text{互换得} \\ F(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(-\omega)e^{j\omega t} d\omega \\ \Rightarrow \mathcal{F}\{F(t)\} = 2\pi f(-\omega) \]

7.2 周期信号 FT 推导¶

\[ \begin{aligned} f_T(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega_1 t} \\ \mathcal{F}\{f_T(t)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \mathcal{F}\{e^{jn\omega_1 t}\} \\ &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta(\omega - n\omega_1) \end{aligned} \]

八、典型信号频谱特征表¶

信号类型	频谱特性	衰减规律	对称性
直流信号	单位冲激	-	偶
冲激信号	均匀谱	-	偶
阶跃信号	$1/j\omega + \pi\delta(\omega)$	$1/\omega$	奇
矩形脉冲	Sa 函数	$1/\omega$	偶
三角脉冲	Sa²函数	$1/\omega^2$	偶

九、应用注意事项¶

时域-频域不确定性原理：

$$
\Delta t \cdot \Delta \omega \geq \frac{1}{2}
$$
2. 系统分析核心公式：

$$
y(t) = \mathcal{F}^{-1}{ Y(\omega) } = \mathcal{F}^{-1}{ X(\omega)H(\omega) }
$$
其中 $H(\omega)$ 为系统频率响应

十、历史发展脉络¶

graph TD
A[傅里叶1807年提出] --> B[1822年正式发表]
B --> C[狄利克雷1829年完善收敛条件]
C --> D[19世纪末工程应用]
D --> E[20世纪FFT算法突破]
E --> F[现代信号处理体系]

性质	时域	频域
线性性	\(af(t)+bg(t)\)	\(aF(\omega)+bG(\omega)\)
时移	\(f(t-t_0)\)	\(F(\omega)e^{-j\omega t_0}\)
频移	\(f(t)e^{j\omega_0 t}\)	\(F(\omega-\omega_0)\)
对称性	\(F(t)\)	\(2\pi f(-\omega)\)
时域微分	\(f'(t)\)	\(j\omega F(\omega)\)
频域微分	\(tf(t)\)	\(jF'(\omega)\)
卷积定理	\(f(t)*g(t)\)	\(F(\omega)G(\omega)\)