傅里叶变换的性质¶

一、典型信号的傅里叶变换¶

1. 矩形脉冲信号¶

定义
$$f(t) = E \left [ u (t+\frac{\tau}{2}) - u (t-\frac{\tau}{2}) \right] $$

傅里叶变换推导
$$
\begin{aligned}
F(\omega) &= \int_{-\tau/2}^{\tau/2} E e^{-j\omega t} dt \
&= E \cdot \tau \cdot \text{Sa}\left( \frac{\omega \tau}{2} \right) \
&= E\tau \cdot \frac{\sin(\omega \tau /2)}{\omega \tau /2}
\end{aligned}
$$

关键结论
- 频谱特性：无限时宽 → 有限频宽（主瓣宽度为 \(\frac{4\pi}{\tau}\)）
- 对称性：时移会导致相位谱线性变化

---

2. 三角脉冲信号¶

定义
\(\(f(t) = \begin{cases} E\left(1 - \frac{2|t|}{\tau}\right), & |t| \leq \frac{\tau}{2} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)\)

傅里叶变换推导
通过微分性质或卷积法推导，最终结果为：
\(\(F(\omega) = \frac{4E}{\omega^2 \tau} \sin^2\left( \frac{\omega \tau}{4} \right)\)\)

---

3. 升余弦信号¶

时域表达式
\(\(f(t) = \frac{E}{2} \left [1 + \cos\left (\frac{2\pi t}{\tau}\right)\right] , \quad |t| \leq \frac{\tau}{2}\)\)

频谱特性
\(\(F(\omega) = \frac{E\tau}{2} \text{Sa}\left( \frac{\omega \tau}{2} \right) + \frac{E\tau}{4} \text{Sa}\left( \frac{\omega \tau}{2} - \pi \right) + \frac{E\tau}{4} \text{Sa}\left( \frac{\omega \tau}{2} + \pi \right)\)\)

---

4. 高斯信号¶

定义
\(\(f(t) = E e^{-\pi \left( \frac{t}{\tau} \right)^2}\)\)

傅里叶变换
\(\(F(\omega) = E\tau e^{-\pi \left( \frac{\omega \tau}{2\pi} \right)^2}\)\)
- 特性：时域与频域波形相同（傅里叶变换的本征函数）

---

二、傅里叶变换性质¶

1. 奇偶虚实性¶

时域特性	频域特性
实偶函数	实偶函数
实奇函数	虚奇函数
复函数	无固定对称性

数学表达
$$
\begin{aligned}
R(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \quad (\text{偶函数}) \
X(\omega) &= -\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt \quad (\text{奇函数})
\end{aligned}
$$

---

2. 广义傅里叶变换¶

符号函数
$$
\text{sgn}(t) =
\begin{cases}
1, & t > 0 \
-1, & t < 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad F(\omega) = \frac{2}{j\omega}
$$

单位阶跃信号
\(\(u(t) = \lim_{a \to 0} e^{-at}u(t) \quad \Rightarrow \quad F(\omega) = \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)\)\)

---

三、关键推导示例¶

单位阶跃信号的FT¶

步骤
1. 用单边指数信号逼近：
\(\(f_a(t) = e^{-at}u(t), \quad a \to 0\)\)
2. 计算极限：
$$
F(\omega) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a + j\omega} = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}
$$

---

四、常见信号FT对照表¶

序号	信号类型	时域表达式 \(f(t)\)	傅里叶变换 \(F(\omega)\)	关键特性/备注
1	单位冲激信号	\(\delta(t)\)	\(1\)	白色频谱，所有频率分量等幅
2	直流信号	\(1\)	\(2\pi \delta(\omega)\)	零频分量无限大
3	单边指数信号	\(e^{-at}u(t), \, a>0\)	\(\frac{1}{a + j\omega}\)	衰减指数，频谱包含所有频率
4	双边指数信号	\(e^{-a\|t\|}, \, a>0\)	\(\frac{2a}{a^2 + \omega^2}\)	对称衰减，实偶频谱
5	矩形脉冲信号	\(\text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\)	\(\tau \cdot \text{Sa}\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)\)	有限时宽 → 无限频宽，主瓣宽度 \(\frac{4\pi}{\tau}\)
6	三角脉冲信号	\(\Lambda\left(\frac{t}{\tau}\right)\)	\(\tau \cdot \text{Sa}^2\left(\frac{\omega \tau}{4}\right)\)	二次衰减，频谱更集中
7	升余弦信号	\(\frac{E}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi t}{\tau}\right)\right]\)	\(\frac{E\tau}{2} \text{Sa}\left(\frac{\omega \tau}{2}\right) + \frac{E\tau}{4} \text{Sa}\left(\frac{\omega \tau}{2} \pm \pi\right)\)	频谱分量减少，适用于通信脉冲设计
8	高斯信号	\(E e^{-\pi \left(\frac{t}{\tau}\right)^2}\)	\(E\tau e^{-\pi \left(\frac{\omega \tau}{2\pi}\right)^2}\)	时域与频域波形相同（本征函数）
9	符号函数	\(\text{sgn}(t)\)	\(\frac{2}{j\omega}\)	奇对称，纯虚频谱
10	单位阶跃信号	\(u(t)\)	\(\pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\)	直流分量与衰减高频分量的叠加
11	正弦信号	\(\sin(\omega_0 t)\)	\(j\pi [\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)]\)	频域为正负频率处的冲激对
12	余弦信号	\(\cos(\omega_0 t)\)	\(\pi [\delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)]\)	频域为正负频率处的冲激对
13	周期冲激序列	\(\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)\)	\(\frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega - \frac{2\pi k}{T}\right)\)	时域周期 → 频域离散冲激串
14	抽样信号（Sinc）	\(\text{Sa}\left(\frac{\pi t}{\tau}\right)\)	\(\tau \cdot \text{rect}\left(\frac{\omega \tau}{2\pi}\right)\)	无限时宽 → 有限频宽，理想低通特性
15	单边正弦信号	\(\sin(\omega_0 t)u(t)\)	\(\frac{\pi}{j} [\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)] + \frac{\omega_0}{\omega_0^2 - \omega^2}\)	包含冲激分量和连续谱

---

五、核心结论¶

1. 频谱衰减规律
   - 信号越光滑（连续可导次数越高），频谱衰减越快。
   - 不连续信号（如矩形脉冲）频谱按 \(\frac{1}{\omega}\) 衰减。

2. 时频关系
   - 有限时宽 ↔ 无限频宽（如矩形脉冲）
   - 无限时宽 ↔ 有限频宽（如高斯信号）

3. 本征函数
   高斯函数和冲激序列是傅里叶变换的本征函数，满足 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\) 形式相同。