傅里叶变换性质总结¶

1. 傅里叶变换的基本性质¶

傅里叶变换的性质揭示了信号在时域和频域之间的关系。这些性质不仅简化了傅里叶变换及其逆变换的求解，还对信号分析提供了深刻的物理意义。

1.1 核心思想¶

• 时域与频域的对称性：信号经过某种运算（如时移、尺度变换、卷积等）后，其频谱会发生相应变化。
• 核心内容：
• 时域运算 → 频域变化
• 频域运算 → 时域影响

数学公式推导的核心工具包括：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt
$$
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega
$$

2. 傅里叶变换的主要性质¶

2.1 线性性质¶

定义¶

若 $ \mathcal{F}[f_1 (t)] = F_1 (\omega) $ 和 $ \mathcal{F}[f_2 (t)] = F_2 (\omega) $，则：
$$
\mathcal{F}[a f_1(t) + b f_2(t)] = a F_1(\omega) + b F_2(\omega)
$$

示例¶

• 单位阶跃信号 $ u (t) $ 的频谱：
  $$
  \mathcal{F}[u(t)] = \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)
  $$

2.2 尺度变换性质¶

定义¶

若 \(\mathcal{F}[f (t)] = F (\omega)\)，则：
$$
\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right), \quad a \neq 0
$$

物理意义¶

• 时间轴压缩 → 频率轴扩展
• 时间轴拉伸 → 频率轴压缩

公式推导¶

通过变量替换 \(x = at\)，可得：
$$
\mathcal{F}[f(at)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(at)e^{-j\omega t} dt = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-j\omega x/a} dx
$$

2.3 时移性质¶

定义¶

若 \(\mathcal{F}[f (t)] = F (\omega)\)，则：
$$
\mathcal{F}[f(t-t_0)] = F(\omega)e^{-j\omega t_0}
$$

特点¶

• 幅度谱不变
• 相位谱增加线性相位因子 \(e^{-j\omega t_0}\)

2.4 频移性质¶

定义¶

若 \(\mathcal{F}[f (t)] = F (\omega)\)，则：
$$
\mathcal{F}[f(t)e^{j\omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)
$$

示例¶

• 调制信号 \(f (t)\cos (\omega_0 t)\) 的频谱：
  $$
  \mathcal{F}[f(t)\cos(\omega_0 t)] = \frac{1}{2}[F(\omega+\omega_0) + F(\omega-\omega_0)]
  $$

2.5 微分性质¶

定义¶

若 \(\mathcal{F}[f (t)] = F (\omega)\)，则：
$$
\mathcal{F}\left[\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right] = (j\omega)^n F(\omega)
$$

推广¶

频域微分：
$$
\mathcal{F}[-jt f(t)] = \frac{dF(\omega)}{d\omega}
$$

2.6 积分性质¶

定义¶

若 \(\mathcal{F}[f (t)] = F (\omega)\)，则：
$$
\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau)d\tau\right] = \frac{F(\omega)}{j\omega} + \pi F(0)\delta(\omega)
$$

2.7 卷积定理¶

定义¶

若 \(\mathcal{F}[f_1 (t)] = F_1 (\omega)\) 和 \(\mathcal{F}[f_2 (t)] = F_2 (\omega)\)，则：
$$
\mathcal{F}[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega)F_2(\omega)
$$

应用¶

• 系统输出 \(y (t) = x (t) * h (t)\) 的频域表示：
  $$
  Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)
  $$

3. 傅里叶变换的应用¶

3.1 信号的能量守恒（Parseval 定理）¶

3.2 周期信号的傅里叶变换¶

周期信号 \(f_p (t)\) 可以表示为：
$$
f_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}
$$
其傅里叶变换为：
$$
F(\omega) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta(\omega - n\omega_0)
$$

4. 示例与图表¶

4.1 示例代码¶

# 计算单位阶跃信号的傅里叶变换
from sympy import symbols, fourier_transform, Heaviside

t, w = symbols('t w')
u_t = Heaviside(t)
F_w = fourier_transform(u_t, t, w)
print(F_w)

4.2 表格示例¶