week-8-频域分析与调制解调技术

week-8-频域分析与调制解调技术¶

本章主要探讨了信号在频域中的分析方法及其在通信系统中的应用，重点包括调制解调的基本概念、信号采样定理及频谱分析技术。

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调制与解调基本概念¶

关键概念¶

• 调制：将低频信号加载到高频载波上，以实现信号的传输。
• 数学表达式：
  $$
  y(t) = f(t) \cdot \cos(\omega_c t)
  $$
  其中，\(f(t)\)为调制信号，\(\cos(\omega_c t)\)为载波信号。
• 解调：从调制信号中提取原始信号的过程。
• 同步解调公式：
  $$
  w(t) = y(t) \cdot \cos(\omega_c t) = f(t) \cdot \cos^2(\omega_c t)
  $$
  经过低通滤波后可恢复\(f(t)\)。

调制分类¶

调制方式	描述
AM（幅度调制）	载波幅度随调制信号线性变化。
FM（频率调制）	载波频率随调制信号线性变化。
PM（相位调制）	载波相位随调制信号线性变化。

图表信息¶

• 调制与解调示意图：
  
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  原始信号 -> 调制 -> 传输 -> 解调 -> 恢复信号
  

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信号采样与重建¶

关键概念¶

• 采样定理：若信号的最高频率为 \(f_m\) ，则采样频率 \(f_s\) 需满足：
  $$
  f_s > 2f_m
  $$
  这是避免频谱混叠的关键条件。
• 信号重建：通过内插公式实现离散信号的连续化：
  $$
  f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(nT) \cdot \text{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right)
  $$

图表信息¶

• 采样与重建过程：
  
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  连续信号 -> 采样 -> 离散信号 -> 内插 -> 恢复连续信号
  

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频谱分析技术¶

关键概念¶

• 频谱搬移：通过调制将基带信号搬移到高频段，便于传输。
• 频分复用（FDM）：多个信号共享同一信道，通过不同频率区分。
• 时分复用（TDM）：多个信号按时间片轮流占用信道。

数学推导¶

• 调制信号的频谱：
  $$
  Y(\omega) = \frac{1}{2}[F(\omega + \omega_c) + F(\omega - \omega_c)]
  $$
  表明调制后频谱被搬移到 \(\omega_c\) 两侧。

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单边带调制（SSB）¶

关键概念¶

• 单边带调制：仅保留调制信号的一个边带，节省频谱资源。
• 实现方法：
• 滤波法：通过滤波器去除一个边带。
• 移相法：利用希尔伯特变换实现信号相移。

数学推导¶

• 单边带信号的表达式：
  $$
  S(t) = A \cos[(\omega_c \pm \omega_m)t]
  $$
  其中， \(\omega_c\) 为载波频率， \(\omega_m\) 为调制信号频率。