week-9-频率混叠与抗混叠滤波器

week-9-频率混叠与抗混叠滤波器¶

关键概念¶

• 频率混叠：当采样频率低于信号最高频率的2倍时，高频信号会“混叠”到低频区域，导致失真。数学表示为：
  \(f_s < 2f_{max}\)（\(f_s\)为采样频率，\(f_{max}\)为信号最高频率）。
• 抗混叠滤波器：低通滤波器，用于在采样前限制信号带宽，确保\(f_{max} \leq \frac{f_s}{2}\)。

数学公式推导¶

• 采样信号的频谱是原始信号频谱的周期性重复：
  \(\(F_r(\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} F(\omega - k\omega_s)\)\)
  其中\(T_s\)为采样间隔，\(\omega_s = 2\pi f_s\)为采样角频率。
• 混叠条件：若\(\omega_2 > \frac{\omega_s}{2}\)，则\(\omega_1 = \omega_s - \omega_2\)会出现在基带中。

图表信息¶

代码示例（抗混叠滤波实现）¶

import numpy as np
from scipy.signal import butter, lfilter

def antialiasing_filter(signal, cutoff, fs, order=5):
    nyquist = 0.5 * fs
    normal_cutoff = cutoff / nyquist
    b, a = butter(order, normal_cutoff, btype='low', analog=False)
    filtered_signal = lfilter(b, a, signal)
    return filtered_signal

其他注意事项¶

• 实际工程中需权衡滤波器阶数（抑制混叠 vs. 相位延迟）。
• 采样定理（奈奎斯特准则）是信号处理的基础理论，需严格满足。