week1-概率与概率空间¶

§1 引言¶

1.1 研究对象¶

• 确定性现象：结果可预测（如自由落体运动）
• 随机现象：结果不确定（如掷骰子）
• 核心目标：研究随机现象的统计规律性

1.2 发展简史¶

§2 随机事件及其概率¶

2.1 基本概念¶

样本空间与事件¶

• 样本空间（Ω）：所有可能结果的集合
• 事件：Ω的子集，满足：
  
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  # 事件A发生当且仅当试验结果ω ∈ A
  ω ∈ A ⇨ 事件A发生
  

事件运算关系表¶

事件运算律¶

• 对偶律（De Morgan律）：
  $$
  (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \
  (A \cap B)^c = A^c \cup B^c
  $$

2.2 等可能概型¶

古典概型¶

• 定义：\(P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega}\)
• 例1（摸球问题）：

$$
袋中有α白球、β黑球，取a+b球，恰含a白b黑的概率：
P = \frac{C_\alpha^a C_\beta^b}{C_{\alpha +\beta}^{a+b}}
$$

几何概型¶

• 定义：\(P(A) = \frac{L(A)}{L(\Omega)}\)（L为测度）
• 例2（约会问题）：

两人在1小时内随机到达，会面成功的概率：

2.3 悖论与问题¶

• Bertrand悖论：圆内随机弦长超过内接正三角形边长的概率存在多解（因"随机"定义不同）
• Buffon投针问题：
  针长l，平行线间距a(l < a)：
  $$
  P = \frac{2l}{\pi a}
  $$

§3 概率空间及计算¶

3.1 事件域（σ-域）¶

• 定义：满足：
  1. Ω ∈ ℱ
  2. \(A \in ℱ \Rightarrow A^c \in ℱ\)
  3. \(A_1,A_2,... \in ℱ \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in ℱ\)

3.2 概率公理化定义¶

• Kolmogorov公理：
  (Ω, ℱ, P) 满足：
  1. 非负性：P(A) ≥ 0
  2. 规范性：P(Ω) = 1
  3. 可数可加性：A_i 互斥时 \(P(\bigcup A_i) = \sum P(A_i)\)

3.3 概率性质¶

3.4 典型问题¶

匹配数问题：
$$
n个人随机取作业，无人匹配的概率：
q_0 = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - ... + (-1)^n \frac{1}{n!} \to \frac{1}{e}
$$

3.5 连续性定理¶

• 上/下极限：
  $$
  \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k \
  \liminf A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k
  $$
• 连续性：若\(A_n \uparrow A\)，则\(\lim_{n\to\infty} P(A_n) = P(A)\)

附录：关键公式推导¶

古典概型组合数公式¶

几何概型面积计算¶

事件序列极限¶