week10-Brown运动的简单特性

Brown运动的简单特性¶

性质1：Brown运动的等价定义¶

• 定理：随机过程 \(\{B_t : t \geq 0\}\) 满足 \(B_0 = 0\)，则它是Brown运动当且仅当：
• 是Gauss过程；
• \(EB_t = 0\)；
• \(E(B_s B_t) = \min(s,t)\)。
• 证明：
• 必要性：若为Brown运动，则 \(B_t \sim N(0,t)\)，协方差计算：
  \(\(Cov(B_s, B_t) = E(B_s B_t) = s \land t.\)\)
• 充分性：验证独立增量与 \(B_t - B_s \sim N(0, |t-s|)\)。

性质2：不变性¶

1. 平移不变性：\(\{B_{t+a} - B_a, t \geq 0\}\) 是Brown运动。
   - 证明：\(E [(B_{t+a} - B_a)(B_{s+a} - B_a)] = \min(s,t)\)。
2. 尺度不变性：\(\{\frac{B_{ct}}{\sqrt{c}}, t \geq 0\}\) 是Brown运动。
3. 时间反转：\(\{t B_{1/t}, t \geq 0\}\) 是Brown运动。

Brown运动的轨道性质¶

• 性质3：轨道处处连续但不可导。
• 性质4（镜面对称性）：
  \(\(P(\text{到达过 } x, B_t \leq x) = P(\text{到达过 } x, B_t \geq x).\)\)
• 性质5（首达时分布）：
  \(\(P(T_a \leq t) = 2(1 - \Phi(|a|/\sqrt{t})).\)\)

其他性质¶

• 性质6：\(\max_{0 \leq s \leq t} B_s\) 的密度为 \(f(a) = \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{-a^2/(2t)}\)。
• 性质7：始于 \(x\) 的Brown运动在 \((0,t)\) 有零点的概率：
  \(\(\int_0^t \frac{|x|}{u^{3/2}} e^{-x^2/(2u)} du.\)\)
• 性质8（反正弦律）：
  \(\(P(\text{在 } (a,b) \text{无零点}) = \frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{a/b}.\)\)

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§1 大数定律与依概率收敛¶

1. 依概率收敛¶

• 定义：\(X_n \overset{P}{\to} X\) 若 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0\)。
• 性质：
• 连续性：若 \(X_n \overset{P}{\to} X\)，\(g\) 连续，则 \(g(X_n) \overset{P}{\to} g(X)\)。
• Slutsky定理：若 \(X_n \overset{D}{\to} X\)，\(Y_n \overset{P}{\to} a\)，则：
  \(\(X_n + Y_n \overset{D}{\to} X + a, \quad X_n Y_n \overset{D}{\to} aX.\)\)

2. 大数定律（LLN）¶

• 定义：\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n EX_i \overset{P}{\to} 0\)。
• Chebyshev大数定律：若 \(\{X_n\}\) 两两不相关且方差有界，则服从LLN。
• Khintchine大数定律：i.i.d.序列 \(\{X_n\}\) 满足 \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \overset{P}{\to} \mu\)。
• Bernoulli大数定律：\(\frac{\mu_n}{n} \overset{P}{\to} p\)（\(\mu_n\)为成功次数）。

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§2 中心极限定理（CLT）¶

1. Levy-Lindeberg CLT¶

• 定理：i.i.d.序列 \(\{X_n\}\) 满足 \(EX_i = \mu\)，\(DX_i = \sigma^2\)，则：
  \(\(\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \overset{D}{\to} N(0,1).\)\)

2. De Moivre-Laplace定理¶

• 推论：\(\mu_n \sim B(n,p)\)，则：
  \(\(\frac{\mu_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \overset{D}{\to} N(0,1).\)\)
• 应用示例：求试验次数 \(n\) 使得频率在 $ [0.74, 0.76] $ 的概率 \(\geq 0.95\)：
  \(\(n \approx 7203 \quad (\text{解方程 } 0.01 \sqrt{n/(0.1875)} \approx 1.96).\)\)

3. Liapunov定理¶

• 条件：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_n^{2+\delta}} \sum_{i=1}^n E|X_i - \mu_i|^{2+\delta} = 0\)。
• 结论：\(\frac{1}{B_n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i) \overset{D}{\to} N(0,1)\)。

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关键公式总结¶

概念	公式
Brown运动协方差	\(E(B_s B_t) = \min(s,t)\)
首达时分布	$P(T_a \leq t) = 2(1 - \Phi(
De Moivre-Laplace	\(\frac{\mu_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0,1)\)