week11-极限定理

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第六章极限定理¶

定义：随机变量序列 $\{X_n\}$ 依概率收敛于 $X$（记为 $X_n \overset{P}{\to} X$），若对任意 $\varepsilon > 0$：
$\(\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$\)
示例：独立同分布的 ${\xi_n} \sim U [0, a] $，则 $\max(\xi_1, \cdots, \xi_n) \overset{P}{\to} a$。

性质1（连续映射定理）：
若 $X_n \overset{P}{\to} X$，$g(x)$ 连续，则 $g(X_n) \overset{P}{\to} g(X)$。
线性运算：$aX_n + bY_n \overset{P}{\to} aX + bY$，$X_nY_n \overset{P}{\to} XY$。
性质2：依概率收敛蕴含依分布收敛（$X_n \overset{P}{\to} X \Rightarrow X_n \overset{D}{\to} X$）。
性质3：$X_n \overset{P}{\to} a$（常数）当且仅当 $X_n \overset{D}{\to} a$。

定义：$\{X_n\}$ 满足大数定律若：
$\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E X_i \overset{P}{\to} 0$\)
Chebyshev大数定律：
条件：$\{X_n\}$ 两两不相关，方差一致有界（$D(X_i) \leq C$）。
Chebyshev不等式：对任意 $\varepsilon > 0$，$P(|X - E X| \geq \varepsilon) \leq \frac{D X}{\varepsilon^2}$。
示例：设 $E(X)=-2$，$E(Y)=2$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，$\rho_{XY}=-0.5$，则：
$\(P(|X + Y| \geq 6) \leq \frac{1 + 4 + 2 \times (-0.5) \times 2}{36} = \frac{1}{12}$\)
Khintchine大数定律：
独立同分布序列 $\{X_n\}$ 满足 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \overset{P}{\to} \mu$（$E X_i = \mu$）。
Bernoulli大数定律：
$n$ 次独立试验中事件 $A$ 的频率 $\frac{\mu_n}{n} \overset{P}{\to} p$（$P(A)=p$）。

定义：$\{X_n\}$ 满足中心极限定理若：
$\(\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leq x\right) = \Phi(x)$\)

Levy-Lindeberg定理：
独立同分布 $\{X_n\}$ 满足 $E X_i = \mu$，$D X_i = \sigma^2 \neq 0$，则：
$\(S_n^* = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \overset{D}{\to} N(0,1)$\)
De Moivre-Laplace定理：
二项分布 $B(n,p)$ 的标准化形式收敛于标准正态分布：
$\(\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\mu_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq x\right) = \Phi(x)$\)
示例：求 $n$ 使得 $P(0.74 < \frac{\mu_n}{n} < 0.76) \geq 0.95$（$p=0.75$）：
- 解得 $n \approx 7203$（利用 $\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96$）。
Liapunov定理：
独立序列 $\{X_n\}$ 满足 Liapunov 条件时，标准化和收敛于 $N(0,1)$。

收敛类型	定义式	关系
依概率收敛	$\lim_{n \to \infty} P(	X_n - X
依分布收敛	$\lim_{n \to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)$（连续点）	与常数收敛等价