week12-统计的基本概念与点估计

week12-统计的基本概念与点估计¶

1.1 总体和样本¶

• 研究对象: 某个（某些）数量指标。
• 总体 (Population): 研究对象的全体。
• 个体 (Individual): 总体中的每个单元。
• 样本 (Sample): 从总体中抽取的一部分个体 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\)。
• 简单随机样本 (Simple Random Sample): 满足随机性（抽取机会均等）和独立性（各次抽取相互独立）的样本。
  • 十分之一原则: 当样本量 \(n\) 与总体容量 \(N\) 相比，若 \(n/N \le 0.1\)，不放回抽样可近似看作放回抽样。
• 样本的联合分布函数: 若总体分布函数为 \(F(x)\)，则容量为 \(n\) 的简单随机样本 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\) 的联合分布函数为 \(F(x_{1},\cdot\cdot\cdot,x_{n})=\prod_{i=1}^{n}F(x_{i})\)。

1.2 统计量和经验分布函数¶

• 统计量 (Statistic): 样本 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\) 的不含任何未知参数的函数 \(T=T(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n})\)。
• 顺序统计量 (Order Statistics): 将样本观测值 \(x_{1},\cdot\cdot\cdot,x_{n}\) 按从小到大的顺序排列为 \(X_{(1)}\le X_{(2)}\le...\le X_{(n)}\)。
  • 样本极差 (Sample Range): \(R=X_{(n)}-X_{(1)} = \max\{X_{1},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\}-\min\{X_{1},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\}\)。
  • 样本中位数 (Sample Median):
    \(X_{med}=\begin{cases}X_{(\frac{n+1}{2})},& \text{n 为奇数}\\ \frac{1}{2}[X_{(\frac{n}{2})}+X_{(\frac{n}{2}+1)}],& \text{n 为偶数}\end{cases}\)
    (注：PDF中此处条件表述不清，已按标准定义给出。)
• 经验分布函数 (Empirical Distribution Function):
  \(F_{n}(x)=\frac{V_{n}(x)}{n}=\frac{1}{n}\{\text{样本 } X_{1},\cdot\cdot\cdot,X_{n} \text{ 中小于或等于x的个数}\}\)
  \(F_{n}(x)=\begin{cases}0,& x < X_{(1)}\\ \frac{k}{n},& X_{(k)}\le x < X_{(k+1)}, k=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1\\ 1,& x \ge X_{(n)}\end{cases}\)
  (注：PDF中 \(X_{(k)}<x\le X_{(k+1)}\)，此处为常见形式。)
  • \(V_{n}(x)\) 是样本中小于等于 \(x\) 的个数， \(V_{n}(x)\sim B(n,F(x))\) (二项分布)。
  • \(E(F_{n}(x))=F(x)\)
  • \(D(F_{n}(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}\)
  • 中心极限定理: \(\sqrt{n}[F_{n}(x)-F(x)]\xrightarrow{d} N(0,F(x)(1-F(x)))\)
  • Glivenko-Cantelli 定理: \(sup_{x\in R}|F_{n}(x)-F(x)|\xrightarrow{a.s.}0\) (依概率1收敛)。
• 常用统计量:
  • 样本均值 (Sample Mean): \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)
  • 样本方差 (Sample Variance): \(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)
  • 样本k阶原点矩 (Sample k-th Moment): \(M_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k}\)
  • 样本修正方差 (Biased Sample Variance / MLE for variance under normality assumption): \(S^{*^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}=M_{2}-M_{1}^{2}\)

1.3 抽样分布 (Sampling Distribution)¶

统计量的概率分布称为抽样分布。

顺序统计量的分布¶

假设总体的概率密度函数为 \(f(x)\)，分布函数为 \(F(x)\)。
1. 第k顺序统计量 \(X_{(k)}\) 的密度函数:
\(f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}f(x)\)
2. \(X_{(i)}\) 和 \(X_{(j)}\) (\(i<j\)) 的联合密度函数 (\(x \le y\)):
\(f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x,y) = \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}[F(x)]^{i-1}[F(y)-F(x)]^{j-i-1}[1-F(y)]^{n-j}f(x)f(y)\)
- 特别地，\(X_{(1)}\) 和 \(X_{(n)}\) 的联合密度函数 (\(x \le y\)):
\(f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x,y) = n(n-1)[F(y)-F(x)]^{n-2}f(x)f(y)\)
- 样本极差 \(R=X_{(n)}-X_{(1)}\) 的密度函数 (\(r>0\)):
\(f_{R}(r)=\int_{-\infty}^{\infty}n(n-1)[F(r+u)-F(u)]^{n-2}f(u)f(r+u)du\)
(注: PDF中使用积分下限0，这里给出更一般的形式，具体取决于 \(u\) 的支撑域。)
3. 所有顺序统计量 \((X_{(1)},X_{(2)},\cdot\cdot\cdot,X_{(n)})\) 的联合密度函数 (\(x_{(1)}<x_{(2)}<\cdot\cdot\cdot<x_{(n)}\)):
\(f_{X_{(1)},...,X_{(n)}}(x_{(1)},...,x_{(n)})=n!\prod_{i=1}^{n}f(x_{(i)})\)

样本中位数的渐近分布¶

若总体密度函数为 \(f(x)\)，中位数为 \(x_{med}\)，样本中位数为 \(X_{med}\)。
则 \(X_{med}\dot{\sim}N(x_{med},\frac{1}{4n f^{2}(x_{med})})\) (当 \(n \to \infty\))
(注: PDF中为 \(1X_{med}\)，应为 \(X_{med}\)。)

样本分位数 (Sample Quantile)¶

样本 \(p\)-分位数 \(X_p\) (例如 \(X_{([np+1])}\) 当 \(np\) 非整数时)。
则 \(X_{p}\dot{\sim}N(x_{p},\frac{p(1-p)}{n f^{2}(x_{p})})\) (当 \(n \to \infty\))
(注: PDF中 \(X_p\) 的定义细节不完整，此处给出渐近分布。)

常见统计量的性质¶

• 样本均值 \(\overline{X}\):
  \(E(\overline{X})=\mu\) (其中 \(\mu=EX\))
  \(D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\) (其中 \(\sigma^{2}=DX\)) (注: PDF中为 \(\sigma^2/2\)，应为 \(\sigma^2/n\))
• 样本方差 \(S^{2}\):
  \(ES^{2}=\sigma^{2}\)
• 样本k阶原点矩 \(M_{k}\):
  \(EM_{k}=EX^{k}\)
• 样本修正方差 \(S^{*^{2}}\):
  \(E(S^{*^{2}})=\frac{n-1}{n}\sigma^{2}\)

1.4 三大抽样分布: \(\chi^{2}\) 分布、\(t\) 分布和 \(F\) 分布¶

\(\chi^2\) 分布 (\(\chi^2(n)\))¶

• 定义: 若 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\) 独立同分布于 \(N(0,1)\)，则 \(U=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} \sim \chi^{2}(n)\)。
• 与Gamma分布关系: \(\chi^{2}(n) = G(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\) (形状参数 \(n/2\)，尺度参数 \(1/2\) 或速率参数 \(2\))
• 性质:
  • \(E(U)=n\)
  • \(D(U)=2n\)
  • 可加性: 若 \(U_1 \sim \chi^2(n_1)\), \(U_2 \sim \chi^2(n_2)\)，且 \(U_1, U_2\) 独立，则 \(U_1+U_2 \sim \chi^2(n_1+n_2)\)。

\(t\) 分布 (\(t(n)\))¶

• 定义: 若 \(X\sim N(0,1)\), \(Y\sim\chi^{2}(n)\)，且 \(X,Y\) 相互独立，则 \(T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)\)。
• 密度函数: \(f_{T}(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^{2}}{n})^{-\frac{n+1}{2}}, -\infty<x<+\infty\)
  (注: PDF中指数项为正，应为负。)
• 性质:
  • \(n=1\): \(t(1)\) 为标准柯西分布 \(C(0,1)\)，期望不存在。
  • \(n>1\): \(ET=0\)。
  • \(n>2\): \(DT=\frac{n}{n-2}\)。

\(F\) 分布 (\(F(m,n)\))¶

• 定义: 若 \(X\sim\chi^{2}(m)\), \(Y\sim\chi^{2}(n)\)，且 \(X,Y\) 相互独立，则 \(F=\frac{X/m}{Y/n} \sim F(m,n)\)。
• 密度函数 (\(x>0\)): \(f_{F}(x)=\frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}}\)
• 性质: 若 \(W \sim F(m,n)\), 则 \(\frac{1}{W} \sim F(n,m)\)。

分位数 (Quantile)¶

对随机变量 \(X\)，其 \(\alpha\) 分位数 \(v_{\alpha}\) 定义为 \(P(X\le v_{\alpha})=F(v_{\alpha})=\alpha\)。
常用 \(\chi^2_{\alpha}(n)\), \(t_{\alpha}(n)\), \(F_{\alpha}(m,n)\) 分别表示相应分布的上 \(\alpha\) 分位数，即 \(P(X > v_{\alpha})=\alpha\)。 (注：PDF中为下分位数定义，统计表中常用上分位数。)

1.5 正态总体样本均值和样本方差的分布¶

设 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\) 是来自正态总体 \(N(\mu,\sigma^{2})\) 的简单随机样本。
\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)， \(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)。

主要定理和性质¶

1. \(\overline{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n})\)。
   • 标准化: \(Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\)。
2. \(\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^{2}\sim\chi^{2}(n)\)。
3. \(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)。
4. \(\overline{X}\) 与 \(S^{2}\) 相互独立 (Cochran定理的特例)。
5. \(T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)。
6. 若有两独立正态总体 \(N(\mu_1, \sigma_1^2)\) 和 \(N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，样本量分别为 \(n_1, n_2\)，样本方差 \(S_1^2, S_2^2\)。
   • 若 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\) (未知)，则 \(\frac{(\overline{X_1}-\overline{X_2})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{S_{w}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}\sim t(n_{1}+n_{2}-2)\)，其中 \(S_{w}^{2}=\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\) (合并方差)。
   • \(\frac{S_{1}^{2}/\sigma_{1}^{2}}{S_{2}^{2}/\sigma_{2}^{2}} = \frac{\sigma_{2}^{2}S_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}S_{2}^{2}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1)\)。

重要推论和性质证明摘要¶

• \(\overline{X}\) 与 \(S^{2}\) 的独立性证明思路:
  构造 \(n+1\) 维向量 \((\overline{X},X_{1}-\overline{X},X_{2}-\overline{X},\cdot\cdot\cdot,X_{n}-\overline{X})^{T}\)，其服从多元正态分布。
  计算协方差 \(Cov(\overline{X},X_{i}-\overline{X})=Cov(\overline{X},X_{i})-D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}-\frac{\sigma^{2}}{n}=0\)。
  由于 \(\overline{X}\) 与每个 \(X_i - \overline{X}\) 不相关，且是正态分布，所以它们独立。 \(S^2\) 是 \(X_i - \overline{X}\) 的函数，因此 \(\overline{X}\) 与 \(S^2\) 独立。

• \(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\) 的推导 (Cochran 定理思路):
  \(\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^{2} = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\overline{X}+\overline{X}-\mu}{\sigma})^{2} = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\overline{X}}{\sigma})^{2} + n(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma})^{2}\)
  即 \(\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^{2} = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} + (\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}})^{2}\)。
  左边 \(\sim \chi^2(n)\)。右边第二项 \((\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}})^{2} \sim \chi^2(1)\)。
  由于 \(\overline{X}\) 和 \(S^2\) 独立，则 \(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\) 和 \((\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}})^{2}\) 独立。
  根据 \(\chi^2\) 分布的可加性逆定理 (若 \(U_1 \sim \chi^2(k_1)\), \(U_1+U_2 \sim \chi^2(k)\) 且 \(U_1, U_2\) 独立, \(k>k_1\), 则 \(U_2 \sim \chi^2(k-k_1)\))。
  故 \(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)。

  • 可加性逆定理证明: 利用特征函数。若 \(X\sim\chi^{2}(m), X+Y\sim\chi^{2}(m+n)\) 且 \(X,Y\) 独立。
    \(\varphi_{X}(\theta)=(\frac{1/2}{1/2-i\theta})^{m/2}\), \(\varphi_{X+Y}(\theta)=(\frac{1/2}{1/2-i\theta})^{(m+n)/2}\)。
    因独立性, \(\varphi_{X+Y}(\theta)=\varphi_{X}(\theta)\varphi_{Y}(\theta)\), 故 \(\varphi_{Y}(\theta)=(\frac{1/2}{1/2-i\theta})^{n/2}\), 此为 \(\chi^2(n)\) 的特征函数。

• 注: 若总体为对称分布（方差存在），则 \(\overline{X}\) 和 \(S^{2}\) 不相关。对于正态总体，它们不仅不相关，而且独立。

示例¶

1. 设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\), 则 \(E(S^{2})=\sigma^{2}\), \(D(S^{2})=\frac{2\sigma^{4}}{n-1}\)。

2. 设随机变量 \(X\sim t(n) (n>1), Y=\frac{1}{X^{2}}\) , 则 \(Y\sim F(1,n)\)。

   • 解: \(X = \frac{Z_0}{\sqrt{Z_n/n}}\) 其中 \(Z_0 \sim N(0,1)\), \(Z_n \sim \chi^2(n)\) 独立。
     \(Y = \frac{1}{X^2} = \frac{Z_n/n}{Z_0^2}\). 由于 \(Z_0^2 \sim \chi^2(1)\),
     所以 \(Y = \frac{Z_n/n}{Z_1/1}\) (令 \(Z_1 = Z_0^2 \sim \chi^2(1)\))。此为 \(F(n,1)\) 分布的定义。
     (注：PDF答案为 (D) \(F(1,n)\)。\(F(1,n) = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(n)/n}\).
     \(X^2 = \frac{Z_0^2}{Z_n/n} = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(n)/n} \cdot n = n \cdot F(1,n)\).
     So \(Y = \frac{1}{X^2} = \frac{1}{n F(1,n)}\). This is not directly \(F(1,n)\) or \(F(n,1)\).
     Let's recheck: \(X \sim t(n) \Rightarrow X^2 \sim F(1,n)\).
     If \(X \sim t(n)\), then \(X^2 = \frac{(N(0,1))^2}{(\chi^2(n)/n)} = \frac{\chi^2(1)}{\chi^2(n)/n} = n \cdot \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(n)/n} = n \cdot F(1,n)\).
     So \(Y = 1/X^2 = 1/(n F(1,n))\).
     However, a known property is: If \(X \sim t(n)\), then \(X^2 \sim F(1,n)\).
     Thus \(Y = 1/X^2 = 1/F(1,n)\). Since \(1/F(m,n) \sim F(n,m)\), then \(Y \sim F(n,1)\).
     PDF 选项 (C) \(Y\sim F(n,1)\) (D) \(Y\sim F(1,n)\).
     The PDF example states: 设随机变量 \(X\sim t(n)(n>1),Y=\frac{1}{X^{2}}\) ,则 (D) \(Y\sim F(1,n)\)
     This means \(1/X^2 \sim F(1,n)\). This implies \(X^2 \sim F(n,1)\).
     Standard result: If \(T \sim t_k\), then \(T^2 \sim F_{1,k}\). So \(X^2 \sim F(1,n)\).
     Then \(Y = 1/X^2 = 1/F(1,n) \sim F(n,1)\).
     The PDF's answer is (D) \(Y \sim F(1,n)\), which means \(1/X^2 \sim F(1,n)\). This is incorrect. The correct answer should be \(Y \sim F(n,1)\). I will list the PDF's answer and note the discrepancy.
     PDF Answer: (D) \(Y\sim F(1,n)\) (Note: Standard result implies \(X^2 \sim F(1,n)\), so \(Y=1/X^2 \sim F(n,1)\).)

3. 设 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{20}\) 是来自总体 \(X\sim N(0,\sigma^{2})\) 的简单随机样本,则统计量 \(T = \sum_{i=1}^{10}(-1)^{i}X_{i}/\sqrt{\sum_{i=1}^{20}{X_{i}}^{2}}\) 服从的分布是 \(t(10)\)。

   • PDF Answer: \(t(10)\) (【C】 in PDF seems to refer to an option not fully transcribed here).
     (注: 此题结论不标准，分子 \(U = \sum_{i=1}^{10}(-1)^{i}X_{i} \sim N(0, 10\sigma^2)\). 分母的平方根 \(V = \sqrt{\sum_{i=1}^{20}{X_{i}}^{2}} = \sigma \sqrt{W}\) where \(W \sim \chi^2(20)\). \(T = U/(\sigma\sqrt{W}) = (U/\sigma)/\sqrt{W}\). \(U/\sigma \sim N(0,10)\). This is not \(N(0,1)\). The result \(t(10)\) would require specific structure not immediately apparent.)

4. 设总体X服从正态分布 \(N(0,2^{2})\), 而 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n}\) 是来自总体X的简单随机样本,则随机变量 \(Y=\frac{X_{1}^{2}+\cdot\cdot\cdot+X_{10}^{2}}{2(X_{11}^{2}+\cdot\cdot\cdot+X_{15}^{2})}\) 服从分布 \(F(10,5)\)。

   • 解: \(X_i \sim N(0, 2^2)\), so \(X_i/2 \sim N(0,1)\), \((X_i/2)^2 = X_i^2/4 \sim \chi^2(1)\).
     Numerator \(N_0 = \sum_{i=1}^{10}X_{i}^{2}\). \(\sum_{i=1}^{10}(X_i/2)^2 = \frac{N_0}{4} \sim \chi^2(10)\), so \(N_0 \sim 4\chi^2(10)\).
     Denominator \(D_0 = \sum_{i=11}^{15}X_{i}^{2}\). \(\sum_{i=11}^{15}(X_i/2)^2 = \frac{D_0}{4} \sim \chi^2(5)\), so \(D_0 \sim 4\chi^2(5)\).
     \(Y = \frac{4\chi^2_A(10)}{2 \cdot 4\chi^2_B(5)} = \frac{4 U_1}{8 U_2} = \frac{1}{2} \frac{U_1}{U_2}\) where \(U_1 \sim \chi^2(10), U_2 \sim \chi^2(5)\).
     \(Y = \frac{1}{2} \frac{\chi^2(10)/10 \cdot 10}{\chi^2(5)/5 \cdot 5} = \frac{1}{2} \frac{10 \cdot F_{num}}{5 \cdot F_{den}} = \frac{1}{2} \frac{10}{5} F(10,5) = F(10,5)\).
   • PDF Answer: \([F(10,5)]\)

5. 设 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{n+1}\) 是正态总体 \(N(\mu,\sigma^{2})\) 的简单样本, \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\) 和 \({S_{n}}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\) (注意 \(S_n^2\) 是分母为 \(n\) 的样本方差)。

   1. 求 \((n-1)(X_{1}-\mu)^{2}/[\sum_{i=2}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}]\) 的分布。
      • 解: \((X_1-\mu)^2/\sigma^2 \sim \chi^2(1)\). \(\sum_{i=2}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)\) (共 \(n-1\) 项).
        假设 \(X_1, ..., X_n\) 独立。
        Statistic = \(\frac{(n-1)\sigma^2 (\chi^2(1)/1)}{\sigma^2 (\chi^2(n-1)/(n-1)) \cdot (n-1)} = \frac{(n-1) \chi^2_A(1)}{\chi^2_B(n-1)}\).
        This is \(\frac{\chi^2_A(1)/1}{\chi^2_B(n-1)/(n-1)} = F(1,n-1)\).
      • PDF Answer: \([F(1,n-1)]\)
   2. 求 \(\frac{X_{n+1}-\overline{X}}{S_{n}}\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}\) 的分布。
      • 解: \(X_{n+1}-\overline{X} \sim N(0, \sigma^2(1+\frac{1}{n})) = N(0, \sigma^2\frac{n+1}{n})\).
        \(\frac{X_{n+1}-\overline{X}}{\sigma\sqrt{(n+1)/n}} \sim N(0,1)\).
        \(S_n^2 = \frac{n-1}{n}S^2\), where \(S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\).
        \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{n S_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\).
        Statistic \(T = \frac{X_{n+1}-\overline{X}}{S_n \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}} = \frac{(X_{n+1}-\overline{X}) / (\sigma\sqrt{\frac{n+1}{n}})}{\sqrt{(nS_n^2/\sigma^2)/(n-1)} \cdot \sqrt{n/(n-1)} \cdot S_n / (\sigma\sqrt{\frac{n+1}{n}})}\)
        \(T = \frac{(X_{n+1}-\overline{X})/(\sigma\sqrt{\frac{n+1}{n}})}{\sqrt{\frac{nS_n^2/\sigma^2}{n-1}}} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}} \sim t(n-1)\).
      • PDF Answer: \([t(n-1)]\)

6. 设 \(X_{1},X_{2},\cdot\cdot\cdot,X_{9}\) 是正态总体的简单样本,令 \(Y_{1}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}X_{i}\) , \(Y_{2}=\frac{1}{3}\sum_{i=7}^{9}X_{i}\) (PDF: \(\sum_{i=1}^{3}X_{6+i}\)), \(S^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i=7}^{9}(X_{i}-Y_{2})^{2}\) 和 \(Z=\sqrt{2}(Y_{1}-Y_{2})/S\). 试证 \(Z\sim t(2)\).

   • 证明: \(Y_1 \sim N(\mu, \sigma^2/6)\), \(Y_2 \sim N(\mu, \sigma^2/3)\).
     \(Y_1 - Y_2 \sim N(0, \sigma^2/6 + \sigma^2/3) = N(0, \sigma^2/2)\).
     So \(\frac{Y_1-Y_2}{\sigma/\sqrt{2}} \sim N(0,1)\).
     \(S^2\) 是基于样本 \(X_7, X_8, X_9\) (容量 \(n_2=3\)) 的样本方差。
     \(\frac{(3-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{2S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(3-1) = \chi^2(2)\).
     \(Z = \frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{S} = \frac{(Y_1-Y_2)/(\sigma/\sqrt{2})}{S/\sigma} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{(2S^2/\sigma^2)/2}} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(2)/2}} \sim t(2)\).
     Q.E.D.