week2-条件概率¶

1. 概率的连续性定理¶

1.1 核心结论¶

设$P$为定义在事件域$\mathcal{F}$上的非负集合函数，满足$P(\Omega)=1$且具有有限可加性，则以下条件等价：
1. 可数可加性（概率测度）
2. 上连续性：若$A_n \downarrow A$，则$\lim_{n\to\infty} P(A_n) = P(A)$
3. 下连续性：若$A_n \uparrow A$，则$\lim_{n\to\infty} P(A_n) = P(A)$
4. 空集连续性：若$A_{n+1} \subset A_n$且$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = \emptyset$，则$\lim_{n\to\infty} P(A_n) = 0$
5. 极限保概率性：若$\lim_{n\to\infty} A_n$存在，则$P(\lim A_n) = \lim P(A_n)$

1.2 关键证明思路¶

$(5)\Rightarrow(3)$：通过构造单调事件序列$B_n = \bigcap_{k=n}^\infty A_k$，利用下连续性证明极限与概率可交换
$(3)\Rightarrow(5)$：通过$\lim A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k$，结合上下连续性推导

2. 条件概率与贝叶斯理论¶

2.1 条件概率定义¶

$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)
$$
性质：条件概率满足概率公理体系的所有性质

2.2 乘法公式¶

若$P(\bigcap_{j=1}^{n-1} A_j) > 0$，则：
$$
P\left(\bigcap_{j=1}^n A_j\right) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|\bigcap_{j=1}^{n-1} A_j)
$$

2.3 全概率公式¶

设$\{B_i\}$是样本空间的正划分：
$$
P(A) = \sum_{i=1}^\infty P(B_i)P(A|B_i)
$$

2.4 贝叶斯公式¶

\[ P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B_j)P(A|B_j)} \]

2.5 典型应用¶

例1（古典概型）：从1~100中取数，已知$\leq50$时求2或3的倍数概率
$P = \frac{33}{50} \quad (\text{2的倍数25个，3的倍数16个，6的倍数8个})$
例3（排列概率）：卡片排列为MAXAM的概率
$P = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{30}$

3. 事件独立性¶

3.1 定义扩展¶

两事件独立：$P(AB) = P(A)P(B)$
多事件独立：对任意$k\geq2$和$i_1<...<i_k$，有：
$$
P\left(\bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) = \prod_{j=1}^k P(A_{i_j})
$$
条件独立：$P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)$

3.2 重要性质¶

关系类型	互斥性	独立性
定义	$AB=\emptyset$	$P(AB)=P(A)P(B)$
共存性	不可共存	可共存
概率关系	$P(A	B)=0$

3.3 极端事件¶

概率为0或1的事件：与任意事件独立
非极端事件：独立与互斥互斥

4. 可靠性函数推导¶

问题：已知风险率函数$\lambda(t) = \lim_{\Delta t\to0} \frac{h(t,t+\Delta t)}{\Delta t}$，求可靠性函数$g(t)$

推导过程：
1. 由定义得微分方程：
$$
g(t+\Delta t) = g(t)(1-\lambda(t)\Delta t) + o(\Delta t)
$$
2. 取极限得：
$$
g'(t) = -\lambda(t)g(t)
$$
3. 解得：
$$
g(t) = \exp\left(-\int_0^t \lambda(s)ds\right)
$$

5. 典型问题分析¶

5.1 赌徒输光问题¶

模型：
- 甲有$i$元，乙有$a-i$元
- 每次甲赢概率$p$，输概率$q=1-p$

解法：
- 设$P_i$为甲输光概率，建立递推式：
$$
P_i = pP_{i+1} + qP_{i-1}
$$
- 边界条件$P_0=1, P_a=0$
- 解得：

\[ P_i = \begin{cases} \frac{(q/p)^i - (q/p)^a}{1 - (q/p)^a}, & p \neq q \\ 1 - \frac{i}{a}, & p = q \end{cases} \]

5.2 传球问题¶

模型：
- $r$人传球，初始由甲传出
- 每次等概率传给其他$r-1$人

递推关系：
- 设$p_n$为第$n$次由甲传出的概率
- 递推式：
$$
p_n = \frac{1}{r-1}(1 - p_{n-1})
$$
- 解得：
$$
p_n = \frac{1}{r} \left[1 - \left(-\frac{1}{r-1}\right)^{n-1}\right]
$$

关系类型	互斥性	独立性
定义	\(AB=\emptyset\)	\(P(AB)=P(A)P(B)\)
共存性	不可共存	可共存
概率关系	$P(A	B)=0$