week3-离散随机变量

Bernoulli 概型¶

• 二项分布：n 次实验中，记成功的次数为 X，则成功的次数恰好为k 的概率

• 几何分布： \(\infty重Bernoulli\) 实验中,首次“成功”出现时所需的试验次数为Y, 则首次成功出现时恰好实验 k 次的概率

• 负二项分布： \(\infty重Bernoulli\) 实验中, 第r 次“成功”出现时所需的试验次数为Z，则r 次成功出现时恰好出现在 k 次的概率 （帕斯卡分布）

ex1:“巴拿赫火柴盒问题”（Banach's matchbox problem）:假设一位数学有两个火柴盒，每个火柴盒中最初都装有 N 根火柴。他每次随机地从其中一个火柴盒中取出一根火柴使用。某一时刻，当他再次伸手去拿火柴时，发现他选中的那个火柴盒已经空了。此时，求另一个火柴盒中恰好有 r根火柴的概率。

不失一般性，假设右盒被取光，则右盒被选 N+1次，左盒被选 N-r 次，则由负二项分布，

事件相关性度量¶

def: let 0<P (A)<1, 0<P (B)<1, call

性质：

• \(|r(A,B)|\le 1\)
• \(r(A,B)=-r(A,B^C)\)
• \(r(A,B)>0\leftrightarrow P(A|B)>P(B)\) 即 A，B 正相关
• \(r(A,B)=1\leftrightarrow P(A\Delta B)=0\leftrightarrow P(A) = P(B) = P(AB)\)

第二章 离散随机变量与随机律例¶

§1 随机变量及其分布¶

一、随机变量及其分布函数¶

样本空间Ω
单值实函数 \(X = X (ω),ω ∈Ω\)
随机变量 X：对任意实数 x， \(\{X ≤ x\} = \{ω : X (ω) ≤ x\}∈F\)
分布函数：随机变量 \(X\) 是样本空间 \(\Omega\) 上的单值实函数，其分布函数为：

性质：
1. \(F(x)\) 单调
2. 不减。
3. \(0 \leq F(x) \leq 1\)，且 \(F(-\infty) = 0\)，\(F(+\infty) = 1\)。
4. \(F(x)\) 右连续。 \(\\lim_{ x \to x_{0}^+ }F(x)=f(x_{0})\)
5. \(P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1)\)。
6. \(P(X = x) = F(x) - F(x-0)\) ，特别的，若 \(F(x)\) 在 \(x\) 处连续，则 \(P(X = x) = 0\) 。
7. \(\forall x_{1}<x_{2}\) ,并且 \(F(x)\) 在 \(x_1,x_2\) 处连续，则 \(P(x_{1}<X\le x_2)=P(x_{1}\le X\le x_2)=P(x_{1}\le X\lt x_2)=P(x_{1}<X< x_2) =F(x_{2})-F(x_{1})\)
8. 性质 1，2，3 等价于F (x) 为某个随机变量 X 的分布函数

二、离散型随机变量¶

分布列 \(\{p_i\}\) 满足：

常见分布：
1. 二项分布 \(B(n,p)\)：

2. 超几何分布：

3. 几何分布 \(Ge(p)\)：

4. 负二项分布 \(NB(r,p)\)：

几何分布的重要结论：
设 \(X\) 为只取正整数的随机变量，则以下等价：
1. \(X \sim Ge(p)\)
2. \(P(X > m+n \mid X > n) = P(X > m)\)
3. \(P(X = m+n \mid X > n) = P(X = m)\)

例子¶

例1（抛硬币选人）：
（1）抛不到 \(n\) 轮就能选出人的概率：

（2）当 \(p=1/2\) 时，至少抛 \(m\) 轮使得概率超过 0.95，求 \(m\)。【3】

例2（比赛结束概率）：
（1）比赛在第 7 局结束的概率：

（2）在第 7 局结束的条件下，甲获胜的概率：