week4-分布的刻画量

期望（均值）¶

均值定义¶

• Lotus定理
  $$
  Def X\sim{p_i} E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}(必须绝对收敛)
  $$

方差定义¶

• 方差
  $$
  D（X）=E[X-EX]^2
  $$
• 样本方差

中位数定义¶

• p分位数\(x_p\)
  $$
  P(X\le x_{p})\ge p, P(X\ge x_{p})\ge 1-p, 0\lt q \lt 1
  $$
• 中位数\(p=\frac{1}{2}\)
• 性质：x为随机变量 X 的中位数 \(\leftrightarrow \frac{1}{2}\le F(x)\le \frac{1}{2}+P(X=x)\)

众数定义¶

• 概率密度最大的\(x_{p}\)

引理¶

中心距¶

• \(E(X^k)\): k阶（原点）距
• \(E(X-EX)^k\):k阶中心距
• \(E^*=\frac{X-EX}{\sqrt{DX }}\) 标准化

• \(E((X^*)^3)\):偏度skewness
  在统计学中，正偏（Positive Skewness） 的定义如下：

  正偏（右偏）的定义¶

  当数据分布右侧（较大值方向）的尾部比左侧更长，且主要数据集中在左侧时，这种不对称性称为正偏态（右偏态）。其特点是：
  1. 均值（Mean） > 中位数（Median） > 众数（Mode）
  - 右侧的极端值（大值）会显著拉高均值，而中位数和众数相对不受影响。
  1. 偏度系数（Skewness）> 0
  - 通过计算偏度系数（如 Pearson 偏度系数或矩偏度系数），若结果为正，则表明分布右偏。

  直观理解¶

  • 图形特征：正偏分布的“峰值”位于左侧，右侧有一条长尾。

  • 例如：大多数人的收入集中在较低水平，但少数极高收入者使右侧出现长尾（下图示意）。
    

  • 实际场景：

  • 自然现象：洪水发生频率（大多数年份正常，少数年份极严重）。
  • 社会经济：个人收入、房价（多数集中在低值，少数极高值）。
  • 生物学：某些物种的寿命分布（多数个体寿命较短，少数存活极久）。

  注意事项¶

  • 名称与方向的关系：
  • 正偏 = 右偏：名称中的“正”指偏度系数为正，“右”指长尾在右侧。
  • 数据处理的启示：
  • 正偏数据可能不服从正态分布，需通过取对数、Box-Cox变换等方法处理后再建模。

• \(E((X^*)^4\) :峰度kurtosis

• 矩母函数MGF:

若\(M_{X}(u)\)在u=0的某个开邻域内存在，则

矩母函数（若存在）与分布函数相互唯一确定
有关矩母函数的详细讲解与证明可参考：如何通俗的理解矩母函数

常见分布¶

1. \(X\sim B(n,p)\leftrightarrow P(X=k)=C^k_{n}p^kq^{n-k}\)
   1. \(M_{X}(u)=pe^u+q\) \(M_{X^n}(u)=(pe^u+q)^n\)
   2. \(EX=np\)
   3. \(DX=Var(X)=npq\) \(DX=E(X-EX)^2=E{X^2-2XE(X)+(E(X))^2}=E(X^2)-(E(X))^2\)
   4. 二项分布B(n, p)的最大可能值k *存在，且
      \(\(k^* = \begin{cases} (n+1)p \text{ 或 } (n+1)p-1, & \text{当}(n+1)p\text{为整数时}, \\ \lfloor (n+1)p \rfloor, & \text{当}(n+1)p\text{为非整数时}. \end{cases}\)\)
2. \(X\sim Ge(P)\leftrightarrow PX=k)=q^{k-1}p\leftrightarrow P(X>k)=\sum^{\infty}_{i=k+1}q^{i-1}p=q^k\), 则
   1. \(M_{X}=\sum_{k=1}^{\infty}e^{uk}q^{k-1}p=\frac{p}{q}\sum^{\infty}_{k=1}[qe^u]^k=\frac{p}{q} \frac{qe^u}{1-qe^u}=\frac{pe^u}{1-qe^u}\)
   2. \(EX=\frac{1}{q}\)
   3. \(DX=\frac{q}{p^2}\)
   4. X是正整数，则下列三条等价
      1. \(X\sim Ge(p)\)
      2. X是具有“无记忆性的”，i.e.\(P(X>m+n|X>m)=P(X>n)\)
      3. \(P(X=m+n|X>m)=P(X>n)=P(X=n)\)
3. \(X\sim NB(r,p)\leftrightarrow P(X=k)=C^{r-1}_{k-1}p^rq^{n-r}, k=r,r+1,\dots,\)
   1. \(M_{X}(u)=\left[ \frac{pe^u}{1-qe^u} \right]^r\)
   2. \(EX=\frac{r}{q}\)
   3. \(DX=\frac{rq}{p^2}\)
4. \(X\sim HGe(n,a,b)\leftrightarrow P(X=k)=\frac{C^k_{a}C^{n-k}_{k}}{C^n_{a+b}}\)
   4. \(EX=n \frac{a}{a+b}\)

超几何分布的概率质量函数为：

将组合数展开为阶乘形式：

整理分子和分母：

近似处理：

当\(a\)和\(b\)极大时，利用以下近似：

代入后得：

取极限：

由条件\(\lim_{a+b \to \infty} \frac{a}{a+b} = p\)，则\(\frac{b}{a+b} \to 1-p = q\)。因此：

1. Riemann Zeta函数:\(X\sim Zipf(\alpha)\leftrightarrow P(X=k)=\frac{1}{\zeta(\alpha)k^{\alpha}},where \ \xi(\alpha)=\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^{\alpha}}\)
   - 证明：\(\pi_{p\in P}\left( \frac{1}{1-p^{-\alpha}} \right)=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^\alpha}\)

随机向量（\(X， Y\)）¶

（联合joint）分布函数F（x,y）具有如下性质¶

• F(x, y)是 x 或y 的不减函数。
• 0 ≤ F(x, y) ≤1，且F(x,−∞) = F(−∞, y) = F(−∞,−∞) = 0,F(+∞,+∞) =1。
• F(x, y)关于 x 或 y 是右连续的。
• 对于任意的\(x_{1}\le x_{2},y_{1}\le y_{2}, F(x_{2}, y_{2})-F(x_{2}, y_{1})-F(x_{1}, y_{2})+F(x_{1}, y_{1})\ge 0\)
  注：二元实函数F(x, y)为某一随机向量的分布函数当且仅当上述四个性质成立。
• X的边缘分布函数为：\(F _{X}(x) = F(x,+∞)\)；
• Y的边缘分布函数为：\(F _{Y}(y) = F(+∞,y)\)；