week7-连续型随机变量¶

§1 概率密度函数¶

定义与背景¶

• 定义：随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)\) 满足：
  $$
  P(a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx \quad \text{或} \quad F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)du
  $$
• 背景：
• Poisson过程中首位顾客到达时间 \(\tau \sim E(\lambda)\)。
• 寝室到教室时间分布的统计建模。

密度函数性质¶

1. 非负性与归一化：
   $$
   f(x) \geq 0 \quad \text{且} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1
   $$
2. 连续性：分布函数 \(F(x)\) 是连续函数。
3. 导数关系：在 \(f(x)\) 的连续点 \(x\) 处，\(F^\prime(x) = f(x)\)。
4. 概率计算：\(P(X \in B) = \int_{B} f(x)dx\)。

示例¶

• 均匀分布：\(X \sim U [a, b]\) 时，子区间概率与长度成正比：
  $$
  P(c \leq X < d) = \frac{d - c}{b - a}
  $$

---

§2 数学期望¶

定义¶

• 连续型期望：
  $$
  EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)dx \quad \text{（若积分绝对收敛）}
  $$
• 函数期望：\(E [h (X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) f(x)dx\)。

示例¶

• 均匀分布：
  $$
  EX = \frac{a + b}{2}, \quad DX = \frac{(b - a)^2}{12}
  $$

---

§3 重要连续型分布¶

1. 均匀分布 \(U [a, b]\)¶

概率密度 \(f(x)\)	期望 \(EX\)	方差 \(DX\)
\(\frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)

性质：子区间概率与长度成正比。

---

2. 指数分布 \(E(\lambda)\)¶

概率密度：
$$
f(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \
0, & x < 0
\end{cases}
$$

性质：
- 无记忆性：\(P(X > s + t | X > s) = P(X > t)\)。
- 期望与方差：
$$
EX = \frac{1}{\lambda}, \quad DX = \frac{1}{\lambda^2}
$$

示例：设备寿命 \(X \sim E(1/4)\)，调换概率 \(P(X < 1) = 1 - e^{-1/4}\)。

---

3. 正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)¶

概率密度：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma2}\right)
$$

标准化：若 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)。

性质：
- 对称性：\(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\)。
- 期望与方差：\(EX = \mu, DX = \sigma^2\)。

示例：
- 例4：\(X \sim N(2, \sigma^2)\)，已知 \(P(2 < X < 4) = 0.3\)，求 \(P(X < 0)\)：
$$
P(X < 0) = \Phi\left(\frac{0 - 2}{\sigma}\right) = \Phi(-2/\sigma) = 1 - \Phi(2/\sigma) = 0.2
$$
- 例5：方程 \(y^2 + 4y + X = 0\) 无实根概率为 \(1/2\)，求 \(\mu\)：
$$
P(X > 4) = ½ \implies \mu = 4
`$$

4.Γ函数性质¶

• 定义： \(\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty} u^{x-1}e^{-u}du\) 。
• 递推公式： \(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\) 。
• 特殊值： \(\Gamma(n+1) = n!\) , \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\) 。