week8-二维连续型随机向量¶

§4. 二维连续型随机向量与相关性分析¶

定义：设 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，若存在非负可积函数 $f(x,y)$ ，使得对任意 $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ ，有：
$$
F(x,y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u,v) \, du \, dv
$$
或等价地，对于任意二维矩形区域 $C = \{(x,y): a \leq x < b, c \leq y < d\}$ ，满足：
$$
P((X,Y) \in C) = \iint_C f(x,y) \, dx \, dy
$$
称 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合分布密度函数。
性质：
$f(x,y) \geq 0$ 且 $\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) \, dx \, dy = 1$ 。
若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续，则：
$$
f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}
$$
概率计算公式：
$$
P((X,Y) \in A) = \iint_A f(x,y) \, dx \, dy
$$

边缘分布密度的求法：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \, dy, \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \, dx
$$
注意积分限的确定。

数学期望的计算公式：
$$
E[g(X,Y)] = \iint_{\mathbb{R}^2} g(x,y) f(x,y) \, dx \, dy
$$
特别地：
$$
EX = \iint_{\mathbb{R}^2} x f(x,y) \, dx \, dy, \quad EX^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} x^2 f(x,y) \, dx \, dy
$$
从而可以计算方差 $DX = EX^2 - (EX)^2$ 。
协方差与相关系数：
$$
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y], \quad r_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX \cdot DY}}
$$

独立性判定：
$$
X \text{与} Y \text{独立} \iff F(x,y) = F_X(x)F_Y(y), \quad f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)
$$

对于事件 $A \subset \mathbb{R}$ ，若 $P(X \in A) > 0$ ，则在已知 $X \in A$ 的条件下， $Y$ 的条件概率密度函数为：
$$
f_{Y|X \in A}(y) = \frac{P(Y \leq y, X \in A)}{P(X \in A)}
$$
条件分布函数：
$$
F_{Y|X \in A}(y) = P(Y \leq y | X \in A)
$$

在给定 $X \in A$ 的条件下， $Y$ 的条件期望定义为：
$$
E[Y | X \in A] = \int_{-\infty}^\infty y f_{Y|X \in A}(y) \, dy
$$
要求绝对收敛。

定义： $(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$ ，其联合密度函数为：
$$
f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{Q(x,y)}{2(1-\rho^2)}\right)
$$
其中 $Q(x,y)$ 为二次型：

$$
Q(x,y) = \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_12} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_22}
$$