第六章信号的运算和处理 —— 结构化总结¶

6.1 概述¶

关键概念¶

• 理想运放的两个工作区：
• 线性工作区：运放引入负反馈，虚短、虚断成立。
  • 虚短：输入端电压近似相等（$ u_+ \approx u_- $）。
  • 虚断：输入电流近似为零（$ i_+ \approx i_- \approx 0 $）。

• 非线性工作区：开环或正反馈，输出被限制在电源电压范围内（$ u_{out} = +U_{om} $ 或 $ u_{out} = -U_{om} $），仍具有虚断特性。

• 信号运算电路概述：

• 实现数学运算功能（如比例、加减、积分等）。
• 电路组成以集成运放为核心，并引入电压负反馈。

学习要领¶

• 理解电路设计思路。
• 掌握运算关系式的求解方法。
• 能根据需求选择合适的电路并分析其性能特点。

6.2 比例运算电路¶

一、反相比例运算电路 (Inverting Amplifier)¶

电路结构¶

• 输入信号从反相端接入，同相端接地。
• 反馈网络由电阻 $ R_f $ 和 $ R $ 组成。
• 平衡电阻 $ R' = R // R_f $。

运算关系¶

特点¶

• 输入电阻 $ R_i = R $，输出电阻 $ R_o = 0 $。
• 共模输入电压 $ u_{IcA} = 0 $，对运放共模抑制比要求低。
• 带负载能力强，但输入电阻小。

改进方案¶

• 使用T型反馈网络替代 $ R_f $，可在保证 $ A_{uf} $ 较大的同时避免 $ R_i $ 太小。

### 二、同相比例运算电路 (Noninverting Amplifier)¶

电路结构¶

• 输入信号从同相端接入，反馈网络由 $ R_f $ 和 $ R $ 构成。
• 平衡电阻 $ R' = R // R_f $。

运算关系¶

特点¶

• 输入电阻 $ R_i = \infty $，输出电阻 $ R_o = 0 $。
• 共模输入电压 $ u_{IcA} = u_I $，对运放共模抑制比要求高。

电压跟随器¶

• 特殊情况：$ R_f = 0, R = \infty $。
• 运算关系：$ u_O = u_I $。
• 特点：全反馈，可作为缓冲器使用，但易产生自激振荡（\(F = 1\)）。

6.3 加减运算电路¶

一、求和电路 (Summing Amplifier)¶

1. 反相求和电路¶

• 多个输入信号从反相端接入，同相端接地。
• 反馈网络由 \(R_f\) 和多个输入电阻 \(R_1, R_2, \dots\) 构成。

##### 运算关系¶

##### 特点¶

• 输入电阻：\(R_{i1} = R_1, R_{i2} = R_2, \dots\)
• 输出电阻 \(R_o = 0\)。
• 共模输入电压 \(u_{IcA} = 0\)。

2. 同相求和电路¶

• 多个输入信号从同相端接入，反馈网络接在反相端与输出之间。

运算关系¶

特点¶

• 输入电阻较高。
• 共模输入电压 $ u_{IcA} = u_P \neq 0 $。

二、加减运算电路¶

单运放实现差分比例运算电路¶

• 输入信号分别从反相端和同相端接入。

运算关系¶

特点¶

• 放大差模信号，抑制共模信号。
• 为提高输入电阻，常采用电压跟随器前级。

多运放实现加减运算¶

• 分别使用同相比例放大器和加减电路组合。

示例：双运放实现 \(u_O = k_2 u_{I2} - k_1 u_{I1}\)¶

特点¶

• 每个输入信号的输入电阻都较大。
• 精度和延迟可能因多级运放而略有影响。

讨论问题与示例¶

讨论1：用多运放实现 \(u_O = k_2 u_{I2} - k_1 u_{I1}\)¶

设计思路¶

• 使用两级运放：第一级用于同相比例放大 $ u_{I1} $，第二级实现加减运算。

运算关系推导¶

总结表达式¶

数学公式汇总¶

比例运算¶

• 反相比例：
  $$
  A_{uf} = -\frac{R_f}{R}
  $$
• 同相比例：
  $$
  A_{uf} = 1 + \frac{R_f}{R}
  $$

求和运算¶

• 反相求和：
  $$
  u_O = -R_f \left( \frac{u_{I1}}{R_1} + \frac{u_{I2}}{R_2} + \cdots \right)
  $$
• 同相求和：
  $$
  u_O = \left(1 + \frac{R_f}{R}\right) \cdot \left( \frac{u_{I1}}{R_1} + \frac{u_{I2}}{R_2} + \cdots \right) \cdot \frac{R_1 // R_2 // \cdots}{R_f // R}
  $$

差分比例¶

• 单运放：
  $$
  u_O = \frac{R_f}{R} (u_{I2} - u_{I1})
  $$
• 多运放：
  $$
  u_O = -\left(1 + \frac{R_{f1}}{R_1}\right) \cdot \frac{R_{f2}}{R_3} u_{I1} + \left(1 + \frac{R_{f2}}{R_3}\right) u_{I2}
  $$

表格总结¶

不同比例电路对比¶

求和电路对比¶