第六章 信号的运算和处理总结¶

基本运算电路¶

关键概念¶

• 集成运放工作区
• 线性工作区：虚短（\(u_+ = u_-\)）、虚断（\(i_+ = i_- = 0\)）
• 非线性工作区：输出饱和（\(u_o = \pm U_{om}\)）
• 运算电路分析
• 比例运算：\(u_o = -\frac{R_f}{R_1}u_i\)
• 求和运算：\(u_o = -R_f \left( \frac{u_{i1}}{R_1} + \frac{u_{i2}}{R_2} \right)\)
• 加减运算：\(u_o = \frac{R_f}{R_1}(u_{i2} - u_{i1})\)

思考题解答¶

1. 共模输入电压 \(U_{IcA}\) 的影响
   - 计算：\(U_{IcA} = \frac{u_{i1} + u_{i2}}{2}\)
   - 影响：可能导致运放饱和；差分比例运算电路的 \(U_{IcA} \approx 0\)。
2. 输入电阻 \(R_i\) 最大的电路
   - 同相比例运算电路（\(R_i \to \infty\)）。

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积分电路和微分电路¶

一、积分电路¶

• 基本电路
  $$ u_o = -\frac{1}{RC} \int u_i \, dt $$
• 问题：直流开环导致饱和。

• 解决：并联电阻引入直流负反馈。

• 应用示例

• 方波→三角波：分段积分
  $$ u_o(t) = -\frac{U_m}{RC} t + u_o(0) $$
• 正弦波→余弦波：
  $$ u_o = -\frac{1}{RC \omega} \cos(\omega t) $$

二、微分电路¶

• 基本电路
  $$ u_o = -RC \frac{du_i}{dt} $$
• 问题：阻塞现象、自激振荡。
• 改进：
  • 串联电阻 \(R_1\) 限流；
  • 并联电容 \(C_1\) 相位补偿。

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对数/指数运算电路¶

一、对数运算电路¶

• 二极管实现
  $$ u_o \approx -U_T \ln \frac{u_i}{I_S R} $$
• 缺点：受温度影响（\(U_T\)、\(I_S\)）。
• 三极管改进
  $$ u_o = -u_{BE} \approx -U_T \ln \frac{u_i}{I_S R} $$

二、指数运算电路¶

• 公式
  $$ u_o \approx -R I_S e^{u_i / U_T} $$

三、乘除法实现¶

• 乘法电路
  $$ u_o \approx -\frac{u_{i1} u_{i2}}{I_S R} $$
• 除法电路
  $$ u_o = -\frac{R_2}{k R_1} \frac{u_{i1}}{u_{i2}} $$

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模拟乘法器¶

关键概念¶

• 理想乘法器特性
  $$ u_o = k u_x u_y $$
• 四象限：输入/输出极性任意。

应用¶

1. 平方运算
   $$ u_o = k u_i^2 $$
2. 有效值检测
   $$ u_o = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T u_i^2 \, dt} $$
3. 解方程示例
   $$ x^2 + 6x + 2 = 0 \Rightarrow u_o = -\frac{u_o^2 + 2}{6} $$